График функции y = log(x)*x^2

Вы ввели

               2
f(x) = log(x)*x 

$$f{\left (x \right )} = x^{2} \log{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \log{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)*x^2.
$$0^{2} \log{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x \log{\left (x \right )} + x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:

          -1  
  -1/2  -e    
(e   , -----)
          2   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[exp(-1/2), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, exp(-1/2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \log{\left (x \right )} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{- \frac{3}{2}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[exp(-3/2), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, exp(-3/2)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \log{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \log{\left (x \right )} = x^{2} \log{\left (- x \right )}$$
- Нет
$$x^{2} \log{\left (x \right )} = - x^{2} \log{\left (- x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной