График функции y = log(x)^(2)/x

Вы ввели

          2   
       log (x)
f(x) = -------
          x   

$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.999999547588233$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)^2/x.
$$\frac{\log{\left(0 \right)}^{2}}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 0)

  2     -2 
(e, 4*e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[1, e^{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e^{2}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}, e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)^2/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График