График функции y = log(x^2-4)

Вы ввели

          / 2    \
f(x) = log\x  - 4/

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(x^{2} - 4 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.23606797749979$$
$$x_{2} = 2.23606797749979$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x^2 - 1*4).
$$\log{\left(\left(-1\right) 4 + 0^{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(4 \right)} + i \pi$$
Точка:

(0, pi*i + log(4))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, pi*I + log(4))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x^{2} - 4 \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} - 4 \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x^2 - 1*4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(x^{2} - 4 \right)} = \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$
- Да
$$\log{\left(x^{2} - 4 \right)} = - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной