График функции y = -cos(x-1)/3

Вы ввели

       -cos(x - 1) 
f(x) = ------------
            3      

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (x - 1 \right )}\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (x - 1 \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1 + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 1 + \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -60.261056745$$
$$x_{2} = -91.6769832809$$
$$x_{3} = -82.2522053201$$
$$x_{4} = -1282.34059899$$
$$x_{5} = -44.5530934771$$
$$x_{6} = -19.4203522483$$
$$x_{7} = 52.8362787842$$
$$x_{8} = 1799.56179418$$
$$x_{9} = -41.4115008235$$
$$x_{10} = 49.6946861306$$
$$x_{11} = -63.4026493986$$
$$x_{12} = 24.5619449019$$
$$x_{13} = 74.8274273594$$
$$x_{14} = -88.5353906273$$
$$x_{15} = -35.1283155163$$
$$x_{16} = 46.5530934771$$
$$x_{17} = 2.57079632679$$
$$x_{18} = 68.5442420522$$
$$x_{19} = 81.1106126665$$
$$x_{20} = 30.8451302091$$
$$x_{21} = -28.8451302091$$
$$x_{22} = 77.9690200129$$
$$x_{23} = -57.1194640914$$
$$x_{24} = 15.1371669412$$
$$x_{25} = 40.2699081699$$
$$x_{26} = -31.9867228627$$
$$x_{27} = -16.2787595947$$
$$x_{28} = -53.9778714378$$
$$x_{29} = 65.4026493986$$
$$x_{30} = 43.4115008235$$
$$x_{31} = -75.9690200129$$
$$x_{32} = 96.8185759345$$
$$x_{33} = 59.1194640914$$
$$x_{34} = 27.7035375555$$
$$x_{35} = -47.6946861306$$
$$x_{36} = -79.1106126665$$
$$x_{37} = 87.3937979737$$
$$x_{38} = 33.9867228627$$
$$x_{39} = 21.4203522483$$
$$x_{40} = 71.6858347058$$
$$x_{41} = 55.9778714378$$
$$x_{42} = -25.7035375555$$
$$x_{43} = -9.99557428756$$
$$x_{44} = 37.1283155163$$
$$x_{45} = 8.85398163397$$
$$x_{46} = -38.2699081699$$
$$x_{47} = -69.6858347058$$
$$x_{48} = -50.8362787842$$
$$x_{49} = -72.8274273594$$
$$x_{50} = 90.5353906273$$
$$x_{51} = 18.2787595947$$
$$x_{52} = -97.9601685881$$
$$x_{53} = 5.71238898038$$
$$x_{54} = -0.570796326795$$
$$x_{55} = -101.101761242$$
$$x_{56} = 11.9955742876$$
$$x_{57} = -13.1371669412$$
$$x_{58} = 93.6769832809$$
$$x_{59} = -22.5619449019$$
$$x_{60} = -94.8185759345$$
$$x_{61} = 84.2522053201$$
$$x_{62} = 2286.50865549$$
$$x_{63} = -66.5442420522$$
$$x_{64} = 549.207918051$$
$$x_{65} = -3.71238898038$$
$$x_{66} = -85.3937979737$$
$$x_{67} = 99.9601685881$$
$$x_{68} = -6.85398163397$$
$$x_{69} = 62.261056745$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-cos(x - 1))/3.
$$\frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (-1 \right )}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{3} \cos{\left (1 \right )}$$
Точка:

(0, -cos(1)/3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{3} \sin{\left (x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1 + \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, -1/3)

         1 
(1 + pi, -)
         3 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1 + \pi$$
Убывает на промежутках

[1, 1 + pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, 1] U [1 + pi, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{3} \cos{\left (x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1 + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 1 + \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 1 + pi/2] U [1 + 3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[1 + pi/2, 1 + 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (x - 1 \right )}\right)\right) = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (x - 1 \right )}\right)\right) = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-cos(x - 1))/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{3 x} \cos{\left (x - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{3 x} \cos{\left (x - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (x - 1 \right )}\right) = - \frac{1}{3} \cos{\left (x + 1 \right )}$$
- Нет
$$\frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (x - 1 \right )}\right) = - \frac{1}{3} \left(-1 \cos{\left (x + 1 \right )}\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной