График функции y = -cos(x+1)

Вы ввели

f(x) = -cos(x + 1)

$$f{\left (x \right )} = - \cos{\left (x + 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \cos{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 75.9690200129$$
$$x_{2} = 25.7035375555$$
$$x_{3} = -21.4203522483$$
$$x_{4} = -77.9690200129$$
$$x_{5} = 63.4026493986$$
$$x_{6} = -46.5530934771$$
$$x_{7} = 91.6769832809$$
$$x_{8} = -15.1371669412$$
$$x_{9} = 88.5353906273$$
$$x_{10} = -37.1283155163$$
$$x_{11} = 47.6946861306$$
$$x_{12} = 9.99557428756$$
$$x_{13} = 85.3937979737$$
$$x_{14} = 101.101761242$$
$$x_{15} = -18.2787595947$$
$$x_{16} = 3.71238898038$$
$$x_{17} = -62.261056745$$
$$x_{18} = -71.6858347058$$
$$x_{19} = 97.9601685881$$
$$x_{20} = -87.3937979737$$
$$x_{21} = -99.9601685881$$
$$x_{22} = -2.57079632679$$
$$x_{23} = 82.2522053201$$
$$x_{24} = -24.5619449019$$
$$x_{25} = 66.5442420522$$
$$x_{26} = 72.8274273594$$
$$x_{27} = 547.207918051$$
$$x_{28} = -84.2522053201$$
$$x_{29} = -52.8362787842$$
$$x_{30} = 60.261056745$$
$$x_{31} = 69.6858347058$$
$$x_{32} = -90.5353906273$$
$$x_{33} = 41.4115008235$$
$$x_{34} = 16.2787595947$$
$$x_{35} = 53.9778714378$$
$$x_{36} = -40.2699081699$$
$$x_{37} = 13.1371669412$$
$$x_{38} = 50.8362787842$$
$$x_{39} = -59.1194640914$$
$$x_{40} = -68.5442420522$$
$$x_{41} = 35.1283155163$$
$$x_{42} = -5.71238898038$$
$$x_{43} = -11.9955742876$$
$$x_{44} = 31.9867228627$$
$$x_{45} = 22.5619449019$$
$$x_{46} = -30.8451302091$$
$$x_{47} = -65.4026493986$$
$$x_{48} = -8.85398163397$$
$$x_{49} = -96.8185759345$$
$$x_{50} = 19.4203522483$$
$$x_{51} = -55.9778714378$$
$$x_{52} = -49.6946861306$$
$$x_{53} = 38.2699081699$$
$$x_{54} = -81.1106126665$$
$$x_{55} = 57.1194640914$$
$$x_{56} = -27.7035375555$$
$$x_{57} = 44.5530934771$$
$$x_{58} = 6.85398163397$$
$$x_{59} = -93.6769832809$$
$$x_{60} = -74.8274273594$$
$$x_{61} = -1287.48219165$$
$$x_{62} = 79.1106126665$$
$$x_{63} = 0.570796326795$$
$$x_{64} = 94.8185759345$$
$$x_{65} = 28.8451302091$$
$$x_{66} = -33.9867228627$$
$$x_{67} = -43.4115008235$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -cos(x + 1).
$$- \cos{\left (1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \cos{\left (1 \right )}$$
Точка:

(0, -cos(1))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\sin{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1 + \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, -1)

(-1 + pi, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1 + \pi$$
Убывает на промежутках

[-1, -1 + pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, -1] U [-1 + pi, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\cos{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1 + pi/2] U [-1 + 3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[-1 + pi/2, -1 + 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos{\left (x + 1 \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \cos{\left (x + 1 \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -cos(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x} \cos{\left (x + 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x} \cos{\left (x + 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \cos{\left (x + 1 \right )} = - \cos{\left (x - 1 \right )}$$
- Нет
$$- \cos{\left (x + 1 \right )} = - -1 \cos{\left (x - 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной