График функции y = -|x^2-6*x+5|

Вы ввели

        | 2          |
f(x) = -|x  - 6*x + 5|

$$f{\left(x \right)} = - \left|{x^{2} - 6 x + 5}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \left|{x^{2} - 6 x + 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -|x^2 - 6*x + 5|.
$$- \left|{0^{2} - 6 \cdot 0 + 5}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -5$$
Точка:

(0, -5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \left(2 x - 6\right) \operatorname{sign}{\left (x^{2} - 6 x + 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, -4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- 2 \cdot \left(4 \left(x - 3\right)^{2} \delta\left(x^{2} - 6 x + 5\right) + \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 6 x + 5 \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left|{x^{2} - 6 x + 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left|{x^{2} - 6 x + 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -|x^2 - 6*x + 5|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\left|{x^{2} - 6 x + 5}\right|}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left|{x^{2} - 6 x + 5}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \left|{x^{2} - 6 x + 5}\right| = - \left|{x^{2} + 6 x + 5}\right|$$
- Нет
$$- \left|{x^{2} - 6 x + 5}\right| = \left|{x^{2} + 6 x + 5}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График