График функции y = -1+2*sin(x)

Вы ввели

f(x) = -1 + 2*sin(x)

$$f{\left (x \right )} = 2 \sin{\left (x \right )} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = -35.0811179651$$
$$x_{2} = -81.1578102177$$
$$x_{3} = -30.8923277603$$
$$x_{4} = -66.497044501$$
$$x_{5} = 17438.4572213$$
$$x_{6} = -28.7979326579$$
$$x_{7} = 2.61799387799$$
$$x_{8} = -91.6297857297$$
$$x_{9} = 71.733032257$$
$$x_{10} = 138.753675534$$
$$x_{11} = 6.80678408278$$
$$x_{12} = 84.2994028713$$
$$x_{13} = 19.3731546971$$
$$x_{14} = 69.6386371546$$
$$x_{15} = 88.4881930761$$
$$x_{16} = 59.1666616426$$
$$x_{17} = -93.7241808321$$
$$x_{18} = -22.5147473507$$
$$x_{19} = 46.6002910282$$
$$x_{20} = -49.7418836818$$
$$x_{21} = -24.6091424531$$
$$x_{22} = 38.2227106187$$
$$x_{23} = -60.2138591938$$
$$x_{24} = 90.5825881785$$
$$x_{25} = 44.5058959259$$
$$x_{26} = -43.4586983747$$
$$x_{27} = 40.3171057211$$
$$x_{28} = 94.7713783833$$
$$x_{29} = -85.3466004225$$
$$x_{30} = 134.564885329$$
$$x_{31} = -79.0634151153$$
$$x_{32} = 34.0339204139$$
$$x_{33} = -87.4409955249$$
$$x_{34} = 101.05456369$$
$$x_{35} = -74.8746249106$$
$$x_{36} = 21.4675497995$$
$$x_{37} = -12.0427718388$$
$$x_{38} = 52.8834763354$$
$$x_{39} = 50.789081233$$
$$x_{40} = -68.5914396034$$
$$x_{41} = -62.3082542962$$
$$x_{42} = -100.007366139$$
$$x_{43} = -627.794931942$$
$$x_{44} = -41.3643032723$$
$$x_{45} = 13.08996939$$
$$x_{46} = 31.9395253115$$
$$x_{47} = -56.025068989$$
$$x_{48} = -18.3259571459$$
$$x_{49} = 75.9218224618$$
$$x_{50} = -3.66519142919$$
$$x_{51} = -2650.98060085$$
$$x_{52} = -16.2315620435$$
$$x_{53} = 25.6563400043$$
$$x_{54} = -5.75958653158$$
$$x_{55} = 63.3554518474$$
$$x_{56} = 15.1843644924$$
$$x_{57} = 57.0722665402$$
$$x_{58} = -97.9129710369$$
$$x_{59} = -53.9306738866$$
$$x_{60} = 0.523598775598$$
$$x_{61} = -37.1755130675$$
$$x_{62} = 78.0162175641$$
$$x_{63} = 65.4498469498$$
$$x_{64} = -72.7802298082$$
$$x_{65} = 27.7507351067$$
$$x_{66} = 8.90117918517$$
$$x_{67} = -47.6474885794$$
$$x_{68} = -4454.25478401$$
$$x_{69} = 96.8657734857$$
$$x_{70} = -9.94837673637$$
$$x_{71} = 82.2050077689$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -1 + 2*sin(x).
$$-1 + 2 \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi     
(----, -3)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left (x \right )} - 1\right) = \langle -3, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -3, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left (x \right )} - 1\right) = \langle -3, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -3, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -1 + 2*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 = - 2 \sin{\left (x \right )} - 1$$
- Нет
$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 = - -1 \cdot 2 \sin{\left (x \right )} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной