График функции y = -sin((x/2)-1)

Вы ввели

           /x    \
f(x) = -sin|- - 1|
           \2    /

$$f{\left (x \right )} = - \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2 + 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -224.194671058$$
$$x_{2} = 33.4159265359$$
$$x_{3} = -35.6991118431$$
$$x_{4} = -48.2654824574$$
$$x_{5} = -41.9822971503$$
$$x_{6} = -85.9645943005$$
$$x_{7} = -4.28318530718$$
$$x_{8} = 45.9822971503$$
$$x_{9} = -79.6814089933$$
$$x_{10} = 2$$
$$x_{11} = 52.2654824574$$
$$x_{12} = -54.5486677646$$
$$x_{13} = 71.115038379$$
$$x_{14} = 8.28318530718$$
$$x_{15} = 89.9645943005$$
$$x_{16} = -92.2477796077$$
$$x_{17} = 96.2477796077$$
$$x_{18} = -104.814150222$$
$$x_{19} = -23.1327412287$$
$$x_{20} = -10.5663706144$$
$$x_{21} = 14.5663706144$$
$$x_{22} = 39.6991118431$$
$$x_{23} = -73.3982236862$$
$$x_{24} = -67.115038379$$
$$x_{25} = 20.8495559215$$
$$x_{26} = -60.8318530718$$
$$x_{27} = -98.5309649149$$
$$x_{28} = 77.3982236862$$
$$x_{29} = 83.6814089933$$
$$x_{30} = -16.8495559215$$
$$x_{31} = 64.8318530718$$
$$x_{32} = -29.4159265359$$
$$x_{33} = 27.1327412287$$
$$x_{34} = 58.5486677646$$
$$x_{35} = 102.530964915$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -sin(x/2 - 1).
$$- \sin{\left (-1 + \frac{0}{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sin{\left (1 \right )}$$
Точка:

(0, sin(1))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 + \pi$$
$$x_{2} = 2 + 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(2 + pi, -1)

(2 + 3*pi, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2 + \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2 + 3 \pi$$
Убывает на промежутках

[2 + pi, 2 + 3*pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, 2 + pi] U [2 + 3*pi, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2 + 2 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2, 2 + 2*pi]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2] U [2 + 2*pi, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -sin(x/2 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x} \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x} \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )} = \sin{\left (\frac{x}{2} + 1 \right )}$$
- Нет
$$- \sin{\left (\frac{x}{2} - 1 \right )} = - \sin{\left (\frac{x}{2} + 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной