График функции y = -sin(x/2+1)

Вы ввели

           /x    \
f(x) = -sin|- + 1|
           \2    /

$$f{\left(x \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -27.1327412287183$$
$$x_{2} = 16.8495559215388$$
$$x_{3} = -14.5663706143592$$
$$x_{4} = 48.2654824574367$$
$$x_{5} = -45.9822971502571$$
$$x_{6} = 73.398223686155$$
$$x_{7} = 23.1327412287183$$
$$x_{8} = 85.9645943005142$$
$$x_{9} = 67.1150383789755$$
$$x_{10} = -2$$
$$x_{11} = -108.814150222053$$
$$x_{12} = 60.8318530717959$$
$$x_{13} = 54.5486677646163$$
$$x_{14} = -89.9645943005142$$
$$x_{15} = 35.6991118430775$$
$$x_{16} = -8.28318530717959$$
$$x_{17} = -33.4159265358979$$
$$x_{18} = -39.6991118430775$$
$$x_{19} = 92.2477796076938$$
$$x_{20} = 10.5663706143592$$
$$x_{21} = -20.8495559215388$$
$$x_{22} = -52.2654824574367$$
$$x_{23} = 79.6814089933346$$
$$x_{24} = 98.5309649148734$$
$$x_{25} = -228.194671058465$$
$$x_{26} = 41.9822971502571$$
$$x_{27} = -71.1150383789755$$
$$x_{28} = 29.4159265358979$$
$$x_{29} = -96.2477796076938$$
$$x_{30} = 4.28318530717959$$
$$x_{31} = -77.398223686155$$
$$x_{32} = -58.5486677646163$$
$$x_{33} = -64.8318530717959$$
$$x_{34} = -83.6814089933346$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -sin(x/2 + 1).
$$- \sin{\left(\frac{0}{2} + 1 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \sin{\left(1 \right)}$$
Точка:

(0, -sin(1))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2 + \pi$$
$$x_{2} = -2 + 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2 + pi, -1)

(-2 + 3*pi, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + 3 \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2 + \pi, -2 + 3 \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2 + \pi\right] \cup \left[-2 + 3 \pi, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + 2 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-2, -2 + 2 \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[-2 + 2 \pi, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -sin(x/2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$
- Нет
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График