График функции y = -3*cos(x)-1

Вы ввели

f(x) = -3*cos(x) - 1

$$f{\left(x \right)} = - 3 \cos{\left(x \right)} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -71.0256716152245$$
$$x_{2} = -4.37255207093057$$
$$x_{3} = -29.5052932996489$$
$$x_{4} = 83.5920422295836$$
$$x_{5} = 4.37255207093057$$
$$x_{6} = 3426.24662564912$$
$$x_{7} = 96.1584128439428$$
$$x_{8} = -35.7884786068285$$
$$x_{9} = 98.6203316786244$$
$$x_{10} = -971.983089376587$$
$$x_{11} = -33.326559772147$$
$$x_{12} = 64.7424863080449$$
$$x_{13} = 48.3548492211877$$
$$x_{14} = 29.5052932996489$$
$$x_{15} = -83.5920422295836$$
$$x_{16} = -7726.40729459464$$
$$x_{17} = 45.8929303865061$$
$$x_{18} = -10.6557373781102$$
$$x_{19} = -8.19381854342861$$
$$x_{20} = 8.19381854342861$$
$$x_{21} = -48.3548492211877$$
$$x_{22} = -23.2221079924693$$
$$x_{23} = 58.4593010008653$$
$$x_{24} = -16.9389226852897$$
$$x_{25} = 79.7707757570856$$
$$x_{26} = 155.168999443241$$
$$x_{27} = 67.2044051427264$$
$$x_{28} = 42.0716639140081$$
$$x_{29} = -45.8929303865061$$
$$x_{30} = -60.9212198355468$$
$$x_{31} = 60.9212198355468$$
$$x_{32} = 71.0256716152245$$
$$x_{33} = -98.6203316786244$$
$$x_{34} = -39.6097450793265$$
$$x_{35} = 33.326559772147$$
$$x_{36} = -1.91063323624902$$
$$x_{37} = -89.8752275367632$$
$$x_{38} = 14.4770038506082$$
$$x_{39} = -67.2044051427264$$
$$x_{40} = -79.7707757570856$$
$$x_{41} = -52.1761156936857$$
$$x_{42} = -86.0539610642652$$
$$x_{43} = -92.3371463714448$$
$$x_{44} = 89.8752275367632$$
$$x_{45} = 92.3371463714448$$
$$x_{46} = -42.0716639140081$$
$$x_{47} = 16.9389226852897$$
$$x_{48} = -77.3088569224041$$
$$x_{49} = 77.3088569224041$$
$$x_{50} = 52.1761156936857$$
$$x_{51} = -14.4770038506082$$
$$x_{52} = 1.91063323624902$$
$$x_{53} = 23.2221079924693$$
$$x_{54} = 73.487590449906$$
$$x_{55} = 27.0433744649674$$
$$x_{56} = 35.7884786068285$$
$$x_{57} = -58.4593010008653$$
$$x_{58} = 20.7601891577878$$
$$x_{59} = -64.7424863080449$$
$$x_{60} = -54.6380345283673$$
$$x_{61} = 39.6097450793265$$
$$x_{62} = 86.0539610642652$$
$$x_{63} = 10.6557373781102$$
$$x_{64} = 54.6380345283673$$
$$x_{65} = -96.1584128439428$$
$$x_{66} = -73.487590449906$$
$$x_{67} = -27.0433744649674$$
$$x_{68} = -20.7601891577878$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -3*cos(x) - 1*1.
$$- 3 \cos{\left(0 \right)} - 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$3 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -3 - 1)

(pi, 3 - 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$3 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -3*cos(x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 \cos{\left(x \right)} - 1 = - 3 \cos{\left(x \right)} - 1$$
- Да
$$- 3 \cos{\left(x \right)} - 1 = 3 \cos{\left(x \right)} + 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График