График функции y = -(x-1)^2+3

Вы ввели

                2    
f(x) = - (x - 1)  + 3

$$f{\left (x \right )} = - \left(x - 1\right)^{2} + 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \left(x - 1\right)^{2} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} + 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.732050807569$$
$$x_{2} = 2.73205080757$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -(x - 1)^2 + 3.
$$- 1 + 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- 2 x + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1]

Возрастает на промежутках

[1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$-2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(x - 1\right)^{2} + 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(x - 1\right)^{2} + 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -(x - 1)^2 + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left(x - 1\right)^{2} + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left(x - 1\right)^{2} + 3\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \left(x - 1\right)^{2} + 3 = - \left(- x - 1\right)^{2} + 3$$
- Нет
$$- \left(x - 1\right)^{2} + 3 = - -1 \left(- x - 1\right)^{2} - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной