График функции y = (|2^x-2|)

Вы ввели

       | x    |
f(x) = |2  - 2|

$$f{\left(x \right)} = \left|{2^{x} - 2}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{2^{x} - 2}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |2^x - 1*2|.
$$\left|{\left(-1\right) 2 + 2^{0}}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2^{x} \log{\left(2 \right)} \operatorname{sign}{\left(2^{x} - 2 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -56.176760093132$$
$$x_{2} = -88.176760093132$$
$$x_{3} = -48.176760093132$$
$$x_{4} = -72.176760093132$$
$$x_{5} = -52.176760093132$$
$$x_{6} = -114.176760093132$$
$$x_{7} = -96.176760093132$$
$$x_{8} = -110.176760093132$$
$$x_{9} = -74.176760093132$$
$$x_{10} = -40.176760093132$$
$$x_{11} = -68.176760093132$$
$$x_{12} = -94.176760093132$$
$$x_{13} = -64.176760093132$$
$$x_{14} = -62.176760093132$$
$$x_{15} = -122.176760093132$$
$$x_{16} = -120.176760093132$$
$$x_{17} = -50.176760093132$$
$$x_{18} = -44.176760093132$$
$$x_{19} = -78.176760093132$$
$$x_{20} = -100.176760093132$$
$$x_{21} = -92.176760093132$$
$$x_{22} = -84.176760093132$$
$$x_{23} = -58.176760093132$$
$$x_{24} = -104.176760093132$$
$$x_{25} = -98.176760093132$$
$$x_{26} = -70.176760093132$$
$$x_{27} = -60.176760093132$$
$$x_{28} = -86.176760093132$$
$$x_{29} = -54.176760093132$$
$$x_{30} = -42.176760093132$$
$$x_{31} = -116.176760093132$$
$$x_{32} = -82.176760093132$$
$$x_{33} = -108.176760093132$$
$$x_{34} = -90.176760093132$$
$$x_{35} = -126.176760093132$$
$$x_{36} = -112.176760093132$$
$$x_{37} = -66.176760093132$$
$$x_{38} = -128.176760093132$$
$$x_{39} = -46.176760093132$$
$$x_{40} = -102.176760093132$$
$$x_{41} = -80.176760093132$$
$$x_{42} = -76.176760093132$$
$$x_{43} = -106.176760093132$$
$$x_{44} = -130.176760093132$$
$$x_{45} = -124.176760093132$$
$$x_{46} = -118.176760093132$$
Зн. экстремумы в точках:

(-56.176760093132025, 2)

(-88.17676009313203, 2)

(-48.176760093132025, 2)

(-72.17676009313203, 2)

(-52.176760093132025, 2)

(-114.17676009313203, 2)

(-96.17676009313203, 2)

(-110.17676009313203, 2)

(-74.17676009313203, 2)

(-40.176760093132025, 1.9999999999992)

(-68.17676009313203, 2)

(-94.17676009313203, 2)

(-64.17676009313203, 2)

(-62.176760093132025, 2)

(-122.17676009313203, 2)

(-120.17676009313203, 2)

(-50.176760093132025, 2)

(-44.176760093132025, 1.99999999999995)

(-78.17676009313203, 2)

(-100.17676009313203, 2)

(-92.17676009313203, 2)

(-84.17676009313203, 2)

(-58.176760093132025, 2)

(-104.17676009313203, 2)

(-98.17676009313203, 2)

(-70.17676009313203, 2)

(-60.176760093132025, 2)

(-86.17676009313203, 2)

(-54.176760093132025, 2)

(-42.176760093132025, 1.9999999999998)

(-116.17676009313203, 2)

(-82.17676009313203, 2)

(-108.17676009313203, 2)

(-90.17676009313203, 2)

(-126.17676009313203, 2)

(-112.17676009313203, 2)

(-66.17676009313203, 2)

(-128.17676009313203, 2)

(-46.176760093132025, 1.99999999999999)

(-102.17676009313203, 2)

(-80.17676009313203, 2)

(-76.17676009313203, 2)

(-106.17676009313203, 2)

(-130.17676009313203, 2)

(-124.17676009313203, 2)

(-118.17676009313203, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2^{x} \left(2 \cdot 2^{x} \delta\left(2^{x} - 2\right) + \operatorname{sign}{\left(2^{x} - 2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{2^{x} - 2}\right| = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{2^{x} - 2}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |2^x - 1*2|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{2^{x} - 2}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{2^{x} - 2}\right|}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{2^{x} - 2}\right| = \left|{2 - 2^{- x}}\right|$$
- Нет
$$\left|{2^{x} - 2}\right| = - \left|{2 - 2^{- x}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График