График функции y = (|2^x-1|)

Вы ввели

       | x    |
f(x) = |2  - 1|

$$f{\left (x \right )} = \left|{2^{x} - 1}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{2^{x} - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 9.63519204408 \cdot 10^{-13}$$
$$x_{2} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |2^x - 1|.
$$\left|{-1 + 2^{0}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$2^{x} \log{\left (2 \right )} \operatorname{sign}{\left (2^{x} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -66.1767600931$$
$$x_{2} = -100.176760093$$
$$x_{3} = -84.1767600931$$
$$x_{4} = -60.1767600931$$
$$x_{5} = -80.1767600931$$
$$x_{6} = -92.1767600931$$
$$x_{7} = -62.1767600931$$
$$x_{8} = -54.1767600931$$
$$x_{9} = -106.176760093$$
$$x_{10} = -40.1767600931$$
$$x_{11} = -128.176760093$$
$$x_{12} = -114.176760093$$
$$x_{13} = -56.1767600931$$
$$x_{14} = -116.176760093$$
$$x_{15} = -98.1767600931$$
$$x_{16} = -120.176760093$$
$$x_{17} = -50.1767600931$$
$$x_{18} = -78.1767600931$$
$$x_{19} = -126.176760093$$
$$x_{20} = -124.176760093$$
$$x_{21} = -42.1767600931$$
$$x_{22} = -44.1767600931$$
$$x_{23} = -52.1767600931$$
$$x_{24} = -96.1767600931$$
$$x_{25} = -90.1767600931$$
$$x_{26} = -110.176760093$$
$$x_{27} = -104.176760093$$
$$x_{28} = -88.1767600931$$
$$x_{29} = -102.176760093$$
$$x_{30} = -130.176760093$$
$$x_{31} = -82.1767600931$$
$$x_{32} = -58.1767600931$$
$$x_{33} = -74.1767600931$$
$$x_{34} = -68.1767600931$$
$$x_{35} = -64.1767600931$$
$$x_{36} = -48.1767600931$$
$$x_{37} = -118.176760093$$
$$x_{38} = -86.1767600931$$
$$x_{39} = -112.176760093$$
$$x_{40} = -72.1767600931$$
$$x_{41} = -108.176760093$$
$$x_{42} = -46.1767600931$$
$$x_{43} = -94.1767600931$$
$$x_{44} = -70.1767600931$$
$$x_{45} = 0$$
$$x_{46} = -76.1767600931$$
$$x_{47} = -122.176760093$$
Зн. экстремумы в точках:

(-66.1767600931, 1)

(-100.176760093, 1)

(-84.1767600931, 1)

(-60.1767600931, 1)

(-80.1767600931, 1)

(-92.1767600931, 1)

(-62.1767600931, 1)

(-54.1767600931, 1)

(-106.176760093, 1)

(-40.1767600931, 0.999999999999195)

(-128.176760093, 1)

(-114.176760093, 1)

(-56.1767600931, 1)

(-116.176760093, 1)

(-98.1767600931, 1)

(-120.176760093, 1)

(-50.1767600931, 0.999999999999999)

(-78.1767600931, 1)

(-126.176760093, 1)

(-124.176760093, 1)

(-42.1767600931, 0.999999999999799)

(-44.1767600931, 0.99999999999995)

(-52.1767600931, 1)

(-96.1767600931, 1)

(-90.1767600931, 1)

(-110.176760093, 1)

(-104.176760093, 1)

(-88.1767600931, 1)

(-102.176760093, 1)

(-130.176760093, 1)

(-82.1767600931, 1)

(-58.1767600931, 1)

(-74.1767600931, 1)

(-68.1767600931, 1)

(-64.1767600931, 1)

(-48.1767600931, 0.999999999999997)

(-118.176760093, 1)

(-86.1767600931, 1)

(-112.176760093, 1)

(-72.1767600931, 1)

(-108.176760093, 1)

(-46.1767600931, 0.999999999999987)

(-94.1767600931, 1)

(-70.1767600931, 1)

(0, 0)

(-76.1767600931, 1)

(-122.176760093, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{47} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{2^{x} - 1}\right| = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{2^{x} - 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |2^x - 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{2^{x} - 1}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{2^{x} - 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{2^{x} - 1}\right| = \left|{1 - 2^{- x}}\right|$$
- Нет
$$\left|{2^{x} - 1}\right| = - \left|{1 - 2^{- x}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной