График функции y = |x|/x

Вы ввели

       |x|
f(x) = ---
        x 

$$f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x}\right|}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left|{x}\right|}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x|/x.
$$\frac{\left|{0}\right|}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 90$$
$$x_{3} = 78$$
$$x_{4} = 94$$
$$x_{5} = 92$$
$$x_{6} = 54$$
$$x_{7} = -30$$
$$x_{8} = 12$$
$$x_{9} = -50$$
$$x_{10} = 82$$
$$x_{11} = -64$$
$$x_{12} = 62$$
$$x_{13} = -2$$
$$x_{14} = 52$$
$$x_{15} = 74$$
$$x_{16} = 68$$
$$x_{17} = 40$$
$$x_{18} = 28$$
$$x_{19} = 6$$
$$x_{20} = 20$$
$$x_{21} = 8$$
$$x_{22} = -16$$
$$x_{23} = -76$$
$$x_{24} = -100$$
$$x_{25} = -72$$
$$x_{26} = -66$$
$$x_{27} = 44$$
$$x_{28} = 60$$
$$x_{29} = 72$$
$$x_{30} = -78$$
$$x_{31} = -44$$
$$x_{32} = 24$$
$$x_{33} = 66$$
$$x_{34} = -70$$
$$x_{35} = -56$$
$$x_{36} = -10$$
$$x_{37} = -32$$
$$x_{38} = -12$$
$$x_{39} = -92$$
$$x_{40} = 98$$
$$x_{41} = -26$$
$$x_{42} = 14$$
$$x_{43} = 26$$
$$x_{44} = -62$$
$$x_{45} = -24$$
$$x_{46} = -90$$
$$x_{47} = -52$$
$$x_{48} = -94$$
$$x_{49} = -4$$
$$x_{50} = -34$$
$$x_{51} = -28$$
$$x_{52} = -80$$
$$x_{53} = 96$$
$$x_{54} = 42$$
$$x_{55} = -54$$
$$x_{56} = -68$$
$$x_{57} = 4$$
$$x_{58} = 22$$
$$x_{59} = -48$$
$$x_{60} = 10$$
$$x_{61} = 76$$
$$x_{62} = -74$$
$$x_{63} = 48$$
$$x_{64} = 100$$
$$x_{65} = -14$$
$$x_{66} = -96$$
$$x_{67} = 34$$
$$x_{68} = -38$$
$$x_{69} = -8$$
$$x_{70} = -82$$
$$x_{71} = -36$$
$$x_{72} = 64$$
$$x_{73} = 38$$
$$x_{74} = 88$$
$$x_{75} = 18$$
$$x_{76} = -18$$
$$x_{77} = 70$$
$$x_{78} = 36$$
$$x_{79} = -42$$
$$x_{80} = 46$$
$$x_{81} = -58$$
$$x_{82} = 2$$
$$x_{83} = -20$$
$$x_{84} = -98$$
$$x_{85} = -84$$
$$x_{86} = -60$$
$$x_{87} = 80$$
$$x_{88} = 86$$
$$x_{89} = 56$$
$$x_{90} = -86$$
$$x_{91} = 16$$
$$x_{92} = 30$$
$$x_{93} = 58$$
$$x_{94} = -46$$
$$x_{95} = -40$$
$$x_{96} = 84$$
$$x_{97} = 50$$
$$x_{98} = -22$$
$$x_{99} = -88$$
$$x_{100} = 32$$
Зн. экстремумы в точках:

(-6, -1)

(90, 1)

(78, 1)

(94, 1)

(92, 1)

(54, 1)

(-30, -1)

(12, 1)

(-50, -1)

(82, 1)

(-64, -1)

(62, 1)

(-2, -1)

(52, 1)

(74, 1)

(68, 1)

(40, 1)

(28, 1)

(6, 1)

(20, 1)

(8, 1)

(-16, -1)

(-76, -1)

(-100, -1)

(-72, -1)

(-66, -1)

(44, 1)

(60, 1)

(72, 1)

(-78, -1)

(-44, -1)

(24, 1)

(66, 1)

(-70, -1)

(-56, -1)

(-10, -1)

(-32, -1)

(-12, -1)

(-92, -1)

(98, 1)

(-26, -1)

(14, 1)

(26, 1)

(-62, -1)

(-24, -1)

(-90, -1)

(-52, -1)

(-94, -1)

(-4, -1)

(-34, -1)

(-28, -1)

(-80, -1)

(96, 1)

(42, 1)

(-54, -1)

(-68, -1)

(4, 1)

(22, 1)

(-48, -1)

(10, 1)

(76, 1)

(-74, -1)

(48, 1)

(100, 1)

(-14, -1)

(-96, -1)

(34, 1)

(-38, -1)

(-8, -1)

(-82, -1)

(-36, -1)

(64, 1)

(38, 1)

(88, 1)

(18, 1)

(-18, -1)

(70, 1)

(36, 1)

(-42, -1)

(46, 1)

(-58, -1)

(2, 1)

(-20, -1)

(-98, -1)

(-84, -1)

(-60, -1)

(80, 1)

(86, 1)

(56, 1)

(-86, -1)

(16, 1)

(30, 1)

(58, 1)

(-46, -1)

(-40, -1)

(84, 1)

(50, 1)

(-22, -1)

(-88, -1)

(32, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -30$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 30$$
Убывает на промежутках
$$\left[-30, 30\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -30\right] \cup \left[30, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} + \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x|/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left|{x}\right|}{x} = - \frac{\left|{x}\right|}{x}$$
- Нет
$$\frac{\left|{x}\right|}{x} = \frac{\left|{x}\right|}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График