Графики функций/ Построение в 2D/ y = (|x-2|)-(|x+2|)

График функции y = (|x-2|)-(|x+2|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = |x - 2| - |x + 2|
f(x)=∣x−2∣−∣x+2∣f{\left (x \right )} = \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right|
График функции
0-2000-1500-1000-500500100015002000-1010
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
∣x−2∣−∣x+2∣=0\left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 2| - |x + 2|.
−∣2∣+∣−2∣- \left|{2}\right| + \left|{-2}\right|
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sign⁡(x−2)−sign⁡(x+2)=0\operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )} - \operatorname{sign}{\left (x + 2 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=34x_{1} = 34
x2=92x_{2} = 92
x3=−100x_{3} = -100
x4=12x_{4} = 12
x5=80x_{5} = 80
x6=4x_{6} = 4
x7=70x_{7} = 70
x8=−82x_{8} = -82
x9=90x_{9} = 90
x10=−14x_{10} = -14
x11=−78x_{11} = -78
x12=−90x_{12} = -90
x13=−46x_{13} = -46
x14=−48x_{14} = -48
x15=46x_{15} = 46
x16=66x_{16} = 66
x17=22x_{17} = 22
x18=72x_{18} = 72
x19=−66x_{19} = -66
x20=−4x_{20} = -4
x21=82x_{21} = 82
x22=98x_{22} = 98
x23=74x_{23} = 74
x24=36x_{24} = 36
x25=−70x_{25} = -70
x26=−54x_{26} = -54
x27=−74x_{27} = -74
x28=−30x_{28} = -30
x29=−32x_{29} = -32
x30=−12x_{30} = -12
x31=52x_{31} = 52
x32=32x_{32} = 32
x33=2.25x_{33} = 2.25
x34=−60x_{34} = -60
x35=−20x_{35} = -20
x36=40x_{36} = 40
x37=68x_{37} = 68
x38=−86x_{38} = -86
x39=−34x_{39} = -34
x40=24x_{40} = 24
x41=−10x_{41} = -10
x42=18x_{42} = 18
x43=−44x_{43} = -44
x44=62x_{44} = 62
x45=−76x_{45} = -76
x46=50x_{46} = 50
x47=88x_{47} = 88
x48=10x_{48} = 10
x49=−94x_{49} = -94
x50=−56x_{50} = -56
x51=−52x_{51} = -52
x52=−80x_{52} = -80
x53=−36x_{53} = -36
x54=78x_{54} = 78
x55=54x_{55} = 54
x56=60x_{56} = 60
x57=−64x_{57} = -64
x58=−40x_{58} = -40
x59=−68x_{59} = -68
x60=−2.25x_{60} = -2.25
x61=26x_{61} = 26
x62=28x_{62} = 28
x63=−38x_{63} = -38
x64=−42x_{64} = -42
x65=−22x_{65} = -22
x66=−84x_{66} = -84
x67=−50x_{67} = -50
x68=38x_{68} = 38
x69=64x_{69} = 64
x70=30x_{70} = 30
x71=14x_{71} = 14
x72=86x_{72} = 86
x73=−6x_{73} = -6
x74=−98x_{74} = -98
x75=−28x_{75} = -28
x76=6x_{76} = 6
x77=−18x_{77} = -18
x78=94x_{78} = 94
x79=48x_{79} = 48
x80=16x_{80} = 16
x81=20x_{81} = 20
x82=96x_{82} = 96
x83=−26x_{83} = -26
x84=−92x_{84} = -92
x85=−96x_{85} = -96
x86=−8x_{86} = -8
x87=58x_{87} = 58
x88=76x_{88} = 76
x89=−88x_{89} = -88
x90=8x_{90} = 8
x91=−16x_{91} = -16
x92=100x_{92} = 100
x93=−24x_{93} = -24
x94=42x_{94} = 42
x95=84x_{95} = 84
x96=−62x_{96} = -62
x97=56x_{97} = 56
x98=−58x_{98} = -58
x99=−72x_{99} = -72
x100=44x_{100} = 44
Зн. экстремумы в точках:
(34, -4)

(92, -4)

(-100, 4)

(12, -4)

(80, -4)

(4, -4)

(70, -4)

(-82, 4)

(90, -4)

(-14, 4)

(-78, 4)

(-90, 4)

(-46, 4)

(-48, 4)

(46, -4)

(66, -4)

(22, -4)

(72, -4)

(-66, 4)

(-4, 4)

(82, -4)

(98, -4)

(74, -4)

(36, -4)

(-70, 4)

(-54, 4)

(-74, 4)

(-30, 4)

(-32, 4)

(-12, 4)

(52, -4)

(32, -4)

(2.25, -4)

(-60, 4)

(-20, 4)

(40, -4)

(68, -4)

(-86, 4)

(-34, 4)

(24, -4)

(-10, 4)

(18, -4)

(-44, 4)

(62, -4)

(-76, 4)

(50, -4)

(88, -4)

(10, -4)

(-94, 4)

(-56, 4)

(-52, 4)

(-80, 4)

(-36, 4)

(78, -4)

(54, -4)

(60, -4)

(-64, 4)

(-40, 4)

(-68, 4)

(-2.25, 4)

(26, -4)

(28, -4)

(-38, 4)

(-42, 4)

(-22, 4)

(-84, 4)

(-50, 4)

(38, -4)

(64, -4)

(30, -4)

(14, -4)

(86, -4)

(-6, 4)

(-98, 4)

(-28, 4)

(6, -4)

(-18, 4)

(94, -4)

(48, -4)

(16, -4)

(20, -4)

(96, -4)

(-26, 4)

(-92, 4)

(-96, 4)

(-8, 4)

(58, -4)

(76, -4)

(-88, 4)

(8, -4)

(-16, 4)

(100, -4)

(-24, 4)

(42, -4)

(84, -4)

(-62, 4)

(56, -4)

(-58, 4)

(-72, 4)

(44, -4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(∣x−2∣−∣x+2∣)=4\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right|\right) = 4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=4y = 4
lim⁡x→∞(∣x−2∣−∣x+2∣)=−4\lim_{x \to \infty}\left(\left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right|\right) = -4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=−4y = -4
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 2| - |x + 2|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(∣x−2∣−∣x+2∣))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(∣x−2∣−∣x+2∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
∣x−2∣−∣x+2∣=−∣x−2∣+∣x+2∣\left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right| = - \left|{x - 2}\right| + \left|{x + 2}\right|
- Нет
∣x−2∣−∣x+2∣=−−1∣x−2∣−∣x+2∣\left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right| = - -1 \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 2}\right|
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной