График функции y = (|x-1|)+(|x-3|)

Вы ввели

f(x) = |x - 1| + |x - 3|

$$f{\left (x \right )} = \left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 1| + |x - 3|.
$$\left|{-1}\right| + \left|{-3}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x - 3 \right )} + \operatorname{sign}{\left (x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 1| + |x - 3|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right|\right)\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right|\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right| = \left|{x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x - 1}\right| = - \left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной