График функции y = (|x-3|)-(|x-1|)

Вы ввели

f(x) = |x - 3| - |x - 1|

$$f{\left(x \right)} = - \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 1*3| - |x - 1*1|.
$$- \left|{\left(-1\right) 1 + 0}\right| + \left|{\left(-1\right) 3 + 0}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)} - \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 54$$
$$x_{2} = -92$$
$$x_{3} = 88$$
$$x_{4} = 74$$
$$x_{5} = 82$$
$$x_{6} = 86$$
$$x_{7} = 80$$
$$x_{8} = 66$$
$$x_{9} = -40$$
$$x_{10} = 42$$
$$x_{11} = 14$$
$$x_{12} = -38$$
$$x_{13} = -2$$
$$x_{14} = -100$$
$$x_{15} = 98$$
$$x_{16} = 38$$
$$x_{17} = -70$$
$$x_{18} = -4$$
$$x_{19} = -62$$
$$x_{20} = -98$$
$$x_{21} = 46$$
$$x_{22} = -30$$
$$x_{23} = 70$$
$$x_{24} = 52$$
$$x_{25} = 60$$
$$x_{26} = 10$$
$$x_{27} = -36$$
$$x_{28} = 100$$
$$x_{29} = -86$$
$$x_{30} = 8$$
$$x_{31} = 32$$
$$x_{32} = -54$$
$$x_{33} = -46$$
$$x_{34} = -22$$
$$x_{35} = -76$$
$$x_{36} = -44$$
$$x_{37} = -66$$
$$x_{38} = 30$$
$$x_{39} = 12$$
$$x_{40} = -10$$
$$x_{41} = -64$$
$$x_{42} = -6$$
$$x_{43} = -32$$
$$x_{44} = -16$$
$$x_{45} = -84$$
$$x_{46} = -34$$
$$x_{47} = 34$$
$$x_{48} = -94$$
$$x_{49} = 58$$
$$x_{50} = -82$$
$$x_{51} = -60$$
$$x_{52} = 20$$
$$x_{53} = 56$$
$$x_{54} = 90$$
$$x_{55} = 64$$
$$x_{56} = 72$$
$$x_{57} = 28$$
$$x_{58} = -18$$
$$x_{59} = 0$$
$$x_{60} = -74$$
$$x_{61} = 6$$
$$x_{62} = -28$$
$$x_{63} = 96$$
$$x_{64} = 76$$
$$x_{65} = 44$$
$$x_{66} = -56$$
$$x_{67} = -78$$
$$x_{68} = -26$$
$$x_{69} = 16$$
$$x_{70} = -14$$
$$x_{71} = 50$$
$$x_{72} = -90$$
$$x_{73} = -12$$
$$x_{74} = 36$$
$$x_{75} = -20$$
$$x_{76} = 26$$
$$x_{77} = 62$$
$$x_{78} = 18$$
$$x_{79} = 24$$
$$x_{80} = 22$$
$$x_{81} = -72$$
$$x_{82} = -68$$
$$x_{83} = 68$$
$$x_{84} = -52$$
$$x_{85} = -50$$
$$x_{86} = -80$$
$$x_{87} = 4$$
$$x_{88} = -58$$
$$x_{89} = 94$$
$$x_{90} = -88$$
$$x_{91} = 84$$
$$x_{92} = -48$$
$$x_{93} = 92$$
$$x_{94} = -8$$
$$x_{95} = 48$$
$$x_{96} = -96$$
$$x_{97} = 78$$
$$x_{98} = -42$$
$$x_{99} = 40$$
$$x_{100} = -24$$
Зн. экстремумы в точках:

(54, -2)

(-92, 2)

(88, -2)

(74, -2)

(82, -2)

(86, -2)

(80, -2)

(66, -2)

(-40, 2)

(42, -2)

(14, -2)

(-38, 2)

(-2, 2)

(-100, 2)

(98, -2)

(38, -2)

(-70, 2)

(-4, 2)

(-62, 2)

(-98, 2)

(46, -2)

(-30, 2)

(70, -2)

(52, -2)

(60, -2)

(10, -2)

(-36, 2)

(100, -2)

(-86, 2)

(8, -2)

(32, -2)

(-54, 2)

(-46, 2)

(-22, 2)

(-76, 2)

(-44, 2)

(-66, 2)

(30, -2)

(12, -2)

(-10, 2)

(-64, 2)

(-6, 2)

(-32, 2)

(-16, 2)

(-84, 2)

(-34, 2)

(34, -2)

(-94, 2)

(58, -2)

(-82, 2)

(-60, 2)

(20, -2)

(56, -2)

(90, -2)

(64, -2)

(72, -2)

(28, -2)

(-18, 2)

(0, 2)

(-74, 2)

(6, -2)

(-28, 2)

(96, -2)

(76, -2)

(44, -2)

(-56, 2)

(-78, 2)

(-26, 2)

(16, -2)

(-14, 2)

(50, -2)

(-90, 2)

(-12, 2)

(36, -2)

(-20, 2)

(26, -2)

(62, -2)

(18, -2)

(24, -2)

(22, -2)

(-72, 2)

(-68, 2)

(68, -2)

(-52, 2)

(-50, 2)

(-80, 2)

(4, -2)

(-58, 2)

(94, -2)

(-88, 2)

(84, -2)

(-48, 2)

(92, -2)

(-8, 2)

(48, -2)

(-96, 2)

(78, -2)

(-42, 2)

(40, -2)

(-24, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\delta\left(x - 3\right) - \delta\left(x - 1\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right|\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right|\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -2$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 1*3| - |x - 1*1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right| = - \left|{x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
$$- \left|{x - 1}\right| + \left|{x - 3}\right| = \left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График