График функции y = (|x-3|)-(|x+3|)

Вы ввели

f(x) = |x - 3| - |x + 3|

$$f{\left (x \right )} = \left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 3| - |x + 3|.
$$- \left|{3}\right| + \left|{-3}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x - 3 \right )} - \operatorname{sign}{\left (x + 3 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 34$$
$$x_{2} = 92$$
$$x_{3} = -100$$
$$x_{4} = 12$$
$$x_{5} = 80$$
$$x_{6} = 4$$
$$x_{7} = 70$$
$$x_{8} = -82$$
$$x_{9} = 90$$
$$x_{10} = -14$$
$$x_{11} = -78$$
$$x_{12} = -90$$
$$x_{13} = -46$$
$$x_{14} = -48$$
$$x_{15} = 46$$
$$x_{16} = 66$$
$$x_{17} = 22$$
$$x_{18} = 72$$
$$x_{19} = -66$$
$$x_{20} = -4$$
$$x_{21} = 82$$
$$x_{22} = 98$$
$$x_{23} = 74$$
$$x_{24} = 36$$
$$x_{25} = -70$$
$$x_{26} = -54$$
$$x_{27} = -74$$
$$x_{28} = -30$$
$$x_{29} = -32$$
$$x_{30} = -12$$
$$x_{31} = 52$$
$$x_{32} = 32$$
$$x_{33} = -60$$
$$x_{34} = -20$$
$$x_{35} = 40$$
$$x_{36} = 68$$
$$x_{37} = -86$$
$$x_{38} = -34$$
$$x_{39} = 24$$
$$x_{40} = -10$$
$$x_{41} = 18$$
$$x_{42} = -44$$
$$x_{43} = 62$$
$$x_{44} = -76$$
$$x_{45} = 50$$
$$x_{46} = 88$$
$$x_{47} = 10$$
$$x_{48} = -94$$
$$x_{49} = -56$$
$$x_{50} = -52$$
$$x_{51} = -80$$
$$x_{52} = -36$$
$$x_{53} = 78$$
$$x_{54} = 54$$
$$x_{55} = 60$$
$$x_{56} = -64$$
$$x_{57} = -40$$
$$x_{58} = -68$$
$$x_{59} = 26$$
$$x_{60} = 28$$
$$x_{61} = -38$$
$$x_{62} = -42$$
$$x_{63} = -22$$
$$x_{64} = -84$$
$$x_{65} = -50$$
$$x_{66} = 38$$
$$x_{67} = 64$$
$$x_{68} = 30$$
$$x_{69} = 14$$
$$x_{70} = 86$$
$$x_{71} = -6$$
$$x_{72} = -98$$
$$x_{73} = -28$$
$$x_{74} = 6$$
$$x_{75} = -18$$
$$x_{76} = 94$$
$$x_{77} = 48$$
$$x_{78} = 16$$
$$x_{79} = 20$$
$$x_{80} = 96$$
$$x_{81} = -26$$
$$x_{82} = -92$$
$$x_{83} = -96$$
$$x_{84} = -8$$
$$x_{85} = 58$$
$$x_{86} = 76$$
$$x_{87} = -88$$
$$x_{88} = 8$$
$$x_{89} = -16$$
$$x_{90} = 100$$
$$x_{91} = -24$$
$$x_{92} = 42$$
$$x_{93} = 84$$
$$x_{94} = -62$$
$$x_{95} = 56$$
$$x_{96} = -58$$
$$x_{97} = -72$$
$$x_{98} = 44$$
Зн. экстремумы в точках:

(34, -6)

(92, -6)

(-100, 6)

(12, -6)

(80, -6)

(4, -6)

(70, -6)

(-82, 6)

(90, -6)

(-14, 6)

(-78, 6)

(-90, 6)

(-46, 6)

(-48, 6)

(46, -6)

(66, -6)

(22, -6)

(72, -6)

(-66, 6)

(-4, 6)

(82, -6)

(98, -6)

(74, -6)

(36, -6)

(-70, 6)

(-54, 6)

(-74, 6)

(-30, 6)

(-32, 6)

(-12, 6)

(52, -6)

(32, -6)

(-60, 6)

(-20, 6)

(40, -6)

(68, -6)

(-86, 6)

(-34, 6)

(24, -6)

(-10, 6)

(18, -6)

(-44, 6)

(62, -6)

(-76, 6)

(50, -6)

(88, -6)

(10, -6)

(-94, 6)

(-56, 6)

(-52, 6)

(-80, 6)

(-36, 6)

(78, -6)

(54, -6)

(60, -6)

(-64, 6)

(-40, 6)

(-68, 6)

(26, -6)

(28, -6)

(-38, 6)

(-42, 6)

(-22, 6)

(-84, 6)

(-50, 6)

(38, -6)

(64, -6)

(30, -6)

(14, -6)

(86, -6)

(-6, 6)

(-98, 6)

(-28, 6)

(6, -6)

(-18, 6)

(94, -6)

(48, -6)

(16, -6)

(20, -6)

(96, -6)

(-26, 6)

(-92, 6)

(-96, 6)

(-8, 6)

(58, -6)

(76, -6)

(-88, 6)

(8, -6)

(-16, 6)

(100, -6)

(-24, 6)

(42, -6)

(84, -6)

(-62, 6)

(56, -6)

(-58, 6)

(-72, 6)

(44, -6)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right|\right) = 6$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right|\right) = -6$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -6$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 3| - |x + 3|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right| = - \left|{x - 3}\right| + \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
$$\left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right| = - -1 \left|{x - 3}\right| - \left|{x + 3}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной