График функции y = ((|x|)+1)/((|x|)-3)

Вы ввели

       |x| + 1
f(x) = -------
       |x| - 3

$$f{\left (x \right )} = \frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (|x| + 1)/(|x| - 3).
$$\frac{\left|{0}\right| + 1}{-3 + \left|{0}\right|}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{3}$$
Точка:

(0, -1/3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\operatorname{sign}{\left (x \right )}}{\left|{x}\right| - 3} - \frac{\operatorname{sign}{\left (x \right )}}{\left(\left|{x}\right| - 3\right)^{2}} \left(\left|{x}\right| + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left|{x}\right| - 3} \left(2 \delta\left(x\right) - \frac{2 \left(\left|{x}\right| + 1\right) \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right| - 3} - \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{\left|{x}\right| - 3} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{\left(\left|{x}\right| - 3\right)^{2}} \left(\left|{x}\right| + 1\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (|x| + 1)/(|x| - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{x \left(\left|{x}\right| - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + 1}{x \left(\left|{x}\right| - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3} = \frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}$$
- Да
$$\frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3} = - \frac{\left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 3}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной