Графики функций/ Построение в 2D/ y = (|x+1|)-(|x-1|)

График функции y = (|x+1|)-(|x-1|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = |x + 1| - |x - 1|
f(x)=−∣x−1∣+∣x+1∣f{\left (x \right )} = - \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right|
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020005-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
−∣x−1∣+∣x+1∣=0- \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x + 1| - |x - 1|.
−∣−1∣+∣1∣- \left|{-1}\right| + \left|{1}\right|
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−sign⁡(x−1)+sign⁡(x+1)=0- \operatorname{sign}{\left (x - 1 \right )} + \operatorname{sign}{\left (x + 1 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=34x_{1} = 34
x2=92x_{2} = 92
x3=−100x_{3} = -100
x4=12x_{4} = 12
x5=80x_{5} = 80
x6=4x_{6} = 4
x7=70x_{7} = 70
x8=−82x_{8} = -82
x9=90x_{9} = 90
x10=−14x_{10} = -14
x11=−78x_{11} = -78
x12=−90x_{12} = -90
x13=−46x_{13} = -46
x14=−48x_{14} = -48
x15=46x_{15} = 46
x16=66x_{16} = 66
x17=22x_{17} = 22
x18=72x_{18} = 72
x19=−66x_{19} = -66
x20=−4x_{20} = -4
x21=82x_{21} = 82
x22=98x_{22} = 98
x23=74x_{23} = 74
x24=36x_{24} = 36
x25=−70x_{25} = -70
x26=−54x_{26} = -54
x27=−74x_{27} = -74
x28=−30x_{28} = -30
x29=−32x_{29} = -32
x30=−12x_{30} = -12
x31=52x_{31} = 52
x32=32x_{32} = 32
x33=−60x_{33} = -60
x34=−20x_{34} = -20
x35=40x_{35} = 40
x36=68x_{36} = 68
x37=−86x_{37} = -86
x38=−34x_{38} = -34
x39=24x_{39} = 24
x40=−10x_{40} = -10
x41=18x_{41} = 18
x42=−44x_{42} = -44
x43=62x_{43} = 62
x44=−76x_{44} = -76
x45=50x_{45} = 50
x46=−2x_{46} = -2
x47=88x_{47} = 88
x48=10x_{48} = 10
x49=−94x_{49} = -94
x50=−56x_{50} = -56
x51=−52x_{51} = -52
x52=−80x_{52} = -80
x53=−36x_{53} = -36
x54=78x_{54} = 78
x55=54x_{55} = 54
x56=60x_{56} = 60
x57=−64x_{57} = -64
x58=−40x_{58} = -40
x59=−68x_{59} = -68
x60=26x_{60} = 26
x61=28x_{61} = 28
x62=−38x_{62} = -38
x63=−42x_{63} = -42
x64=−22x_{64} = -22
x65=−84x_{65} = -84
x66=−50x_{66} = -50
x67=38x_{67} = 38
x68=64x_{68} = 64
x69=30x_{69} = 30
x70=14x_{70} = 14
x71=86x_{71} = 86
x72=−6x_{72} = -6
x73=−98x_{73} = -98
x74=−28x_{74} = -28
x75=6x_{75} = 6
x76=−18x_{76} = -18
x77=94x_{77} = 94
x78=48x_{78} = 48
x79=16x_{79} = 16
x80=20x_{80} = 20
x81=2x_{81} = 2
x82=96x_{82} = 96
x83=−26x_{83} = -26
x84=−92x_{84} = -92
x85=−96x_{85} = -96
x86=−8x_{86} = -8
x87=58x_{87} = 58
x88=76x_{88} = 76
x89=−88x_{89} = -88
x90=8x_{90} = 8
x91=−16x_{91} = -16
x92=100x_{92} = 100
x93=−24x_{93} = -24
x94=42x_{94} = 42
x95=84x_{95} = 84
x96=−62x_{96} = -62
x97=56x_{97} = 56
x98=−58x_{98} = -58
x99=−72x_{99} = -72
x100=44x_{100} = 44
Зн. экстремумы в точках:
(34, 2)

(92, 2)

(-100, -2)

(12, 2)

(80, 2)

(4, 2)

(70, 2)

(-82, -2)

(90, 2)

(-14, -2)

(-78, -2)

(-90, -2)

(-46, -2)

(-48, -2)

(46, 2)

(66, 2)

(22, 2)

(72, 2)

(-66, -2)

(-4, -2)

(82, 2)

(98, 2)

(74, 2)

(36, 2)

(-70, -2)

(-54, -2)

(-74, -2)

(-30, -2)

(-32, -2)

(-12, -2)

(52, 2)

(32, 2)

(-60, -2)

(-20, -2)

(40, 2)

(68, 2)

(-86, -2)

(-34, -2)

(24, 2)

(-10, -2)

(18, 2)

(-44, -2)

(62, 2)

(-76, -2)

(50, 2)

(-2, -2)

(88, 2)

(10, 2)

(-94, -2)

(-56, -2)

(-52, -2)

(-80, -2)

(-36, -2)

(78, 2)

(54, 2)

(60, 2)

(-64, -2)

(-40, -2)

(-68, -2)

(26, 2)

(28, 2)

(-38, -2)

(-42, -2)

(-22, -2)

(-84, -2)

(-50, -2)

(38, 2)

(64, 2)

(30, 2)

(14, 2)

(86, 2)

(-6, -2)

(-98, -2)

(-28, -2)

(6, 2)

(-18, -2)

(94, 2)

(48, 2)

(16, 2)

(20, 2)

(2, 2)

(96, 2)

(-26, -2)

(-92, -2)

(-96, -2)

(-8, -2)

(58, 2)

(76, 2)

(-88, -2)

(8, 2)

(-16, -2)

(100, 2)

(-24, -2)

(42, 2)

(84, 2)

(-62, -2)

(56, 2)

(-58, -2)

(-72, -2)

(44, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(−∣x−1∣+∣x+1∣)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(- \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right|\right) = -2
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−2y = -2
lim⁡x→∞(−∣x−1∣+∣x+1∣)=2\lim_{x \to \infty}\left(- \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right|\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=2y = 2
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x + 1| - |x - 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(−∣x−1∣+∣x+1∣))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(−∣x−1∣+∣x+1∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
−∣x−1∣+∣x+1∣=∣x−1∣−∣x+1∣- \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right| = \left|{x - 1}\right| - \left|{x + 1}\right|
- Нет
−∣x−1∣+∣x+1∣=−∣x−1∣−−∣x+1∣- \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right| = - \left|{x - 1}\right| - - \left|{x + 1}\right|
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной