График функции y = (|x+3|)-(|1-x|)

Вы ввели

f(x) = |x + 3| - |1 - x|

$$f{\left (x \right )} = - \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x + 3| - |1 - x|.
$$- \left|{- 0 + 1}\right| + \left|{3}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (- x + 1 \right )} + \operatorname{sign}{\left (x + 3 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 34$$
$$x_{2} = 92$$
$$x_{3} = -100$$
$$x_{4} = 12$$
$$x_{5} = 80$$
$$x_{6} = 4$$
$$x_{7} = 70$$
$$x_{8} = -82$$
$$x_{9} = 90$$
$$x_{10} = -14$$
$$x_{11} = -78$$
$$x_{12} = -90$$
$$x_{13} = -46$$
$$x_{14} = -48$$
$$x_{15} = 46$$
$$x_{16} = 66$$
$$x_{17} = 22$$
$$x_{18} = 72$$
$$x_{19} = -66$$
$$x_{20} = -4$$
$$x_{21} = 82$$
$$x_{22} = 98$$
$$x_{23} = 74$$
$$x_{24} = 36$$
$$x_{25} = -70$$
$$x_{26} = -54$$
$$x_{27} = -74$$
$$x_{28} = -30$$
$$x_{29} = -32$$
$$x_{30} = -12$$
$$x_{31} = 52$$
$$x_{32} = 32$$
$$x_{33} = -60$$
$$x_{34} = -20$$
$$x_{35} = 40$$
$$x_{36} = 68$$
$$x_{37} = -86$$
$$x_{38} = -34$$
$$x_{39} = 24$$
$$x_{40} = -10$$
$$x_{41} = 18$$
$$x_{42} = -44$$
$$x_{43} = 62$$
$$x_{44} = -76$$
$$x_{45} = 50$$
$$x_{46} = 88$$
$$x_{47} = 10$$
$$x_{48} = -94$$
$$x_{49} = -56$$
$$x_{50} = -52$$
$$x_{51} = -80$$
$$x_{52} = -36$$
$$x_{53} = 78$$
$$x_{54} = 54$$
$$x_{55} = 60$$
$$x_{56} = -64$$
$$x_{57} = -40$$
$$x_{58} = -68$$
$$x_{59} = 26$$
$$x_{60} = 28$$
$$x_{61} = -38$$
$$x_{62} = -42$$
$$x_{63} = -22$$
$$x_{64} = -84$$
$$x_{65} = -50$$
$$x_{66} = 38$$
$$x_{67} = 64$$
$$x_{68} = 30$$
$$x_{69} = 14$$
$$x_{70} = 86$$
$$x_{71} = -6$$
$$x_{72} = -98$$
$$x_{73} = -28$$
$$x_{74} = 6$$
$$x_{75} = -18$$
$$x_{76} = 94$$
$$x_{77} = 48$$
$$x_{78} = 16$$
$$x_{79} = 20$$
$$x_{80} = 2$$
$$x_{81} = 96$$
$$x_{82} = -26$$
$$x_{83} = -92$$
$$x_{84} = -96$$
$$x_{85} = -8$$
$$x_{86} = 58$$
$$x_{87} = 76$$
$$x_{88} = -88$$
$$x_{89} = 8$$
$$x_{90} = -16$$
$$x_{91} = 100$$
$$x_{92} = -24$$
$$x_{93} = 42$$
$$x_{94} = 84$$
$$x_{95} = -62$$
$$x_{96} = 56$$
$$x_{97} = -58$$
$$x_{98} = -72$$
$$x_{99} = 44$$
Зн. экстремумы в точках:

(34, 4)

(92, 4)

(-100, -4)

(12, 4)

(80, 4)

(4, 4)

(70, 4)

(-82, -4)

(90, 4)

(-14, -4)

(-78, -4)

(-90, -4)

(-46, -4)

(-48, -4)

(46, 4)

(66, 4)

(22, 4)

(72, 4)

(-66, -4)

(-4, -4)

(82, 4)

(98, 4)

(74, 4)

(36, 4)

(-70, -4)

(-54, -4)

(-74, -4)

(-30, -4)

(-32, -4)

(-12, -4)

(52, 4)

(32, 4)

(-60, -4)

(-20, -4)

(40, 4)

(68, 4)

(-86, -4)

(-34, -4)

(24, 4)

(-10, -4)

(18, 4)

(-44, -4)

(62, 4)

(-76, -4)

(50, 4)

(88, 4)

(10, 4)

(-94, -4)

(-56, -4)

(-52, -4)

(-80, -4)

(-36, -4)

(78, 4)

(54, 4)

(60, 4)

(-64, -4)

(-40, -4)

(-68, -4)

(26, 4)

(28, 4)

(-38, -4)

(-42, -4)

(-22, -4)

(-84, -4)

(-50, -4)

(38, 4)

(64, 4)

(30, 4)

(14, 4)

(86, 4)

(-6, -4)

(-98, -4)

(-28, -4)

(6, 4)

(-18, -4)

(94, 4)

(48, 4)

(16, 4)

(20, 4)

(2, 4)

(96, 4)

(-26, -4)

(-92, -4)

(-96, -4)

(-8, -4)

(58, 4)

(76, 4)

(-88, -4)

(8, 4)

(-16, -4)

(100, 4)

(-24, -4)

(42, 4)

(84, 4)

(-62, -4)

(56, 4)

(-58, -4)

(-72, -4)

(44, 4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- \delta\left(- x + 1\right) + \delta\left(x + 3\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right) = -4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 4$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x + 3| - |1 - x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right| = \left|{x - 3}\right| - \left|{x + 1}\right|$$
- Нет
$$- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right| = - \left|{x - 3}\right| - - \left|{x + 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной