Графики функций/ Построение в 2D/ y = (|x+3|)-(|1-x|)

График функции y = (|x+3|)-(|1-x|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = |x + 3| - |1 - x|
f(x)=−∣−x+1∣+∣x+3∣f{\left (x \right )} = - \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|
График функции
0-2000-1500-1000-500500100015002000-1010
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
−∣−x+1∣+∣x+3∣=0- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−1x_{1} = -1
Численное решение
x1=−1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x + 3| - |1 - x|.
−∣−0+1∣+∣3∣- \left|{- 0 + 1}\right| + \left|{3}\right|
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sign⁡(−x+1)+sign⁡(x+3)=0\operatorname{sign}{\left (- x + 1 \right )} + \operatorname{sign}{\left (x + 3 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=34x_{1} = 34
x2=92x_{2} = 92
x3=−100x_{3} = -100
x4=12x_{4} = 12
x5=80x_{5} = 80
x6=4x_{6} = 4
x7=70x_{7} = 70
x8=−82x_{8} = -82
x9=90x_{9} = 90
x10=−14x_{10} = -14
x11=−78x_{11} = -78
x12=−90x_{12} = -90
x13=−46x_{13} = -46
x14=−48x_{14} = -48
x15=46x_{15} = 46
x16=66x_{16} = 66
x17=22x_{17} = 22
x18=72x_{18} = 72
x19=−66x_{19} = -66
x20=−4x_{20} = -4
x21=82x_{21} = 82
x22=98x_{22} = 98
x23=74x_{23} = 74
x24=36x_{24} = 36
x25=−70x_{25} = -70
x26=−54x_{26} = -54
x27=−74x_{27} = -74
x28=−30x_{28} = -30
x29=−32x_{29} = -32
x30=−12x_{30} = -12
x31=52x_{31} = 52
x32=32x_{32} = 32
x33=−60x_{33} = -60
x34=−20x_{34} = -20
x35=40x_{35} = 40
x36=68x_{36} = 68
x37=−86x_{37} = -86
x38=−34x_{38} = -34
x39=24x_{39} = 24
x40=−10x_{40} = -10
x41=18x_{41} = 18
x42=−44x_{42} = -44
x43=62x_{43} = 62
x44=−76x_{44} = -76
x45=50x_{45} = 50
x46=88x_{46} = 88
x47=10x_{47} = 10
x48=−94x_{48} = -94
x49=−56x_{49} = -56
x50=−52x_{50} = -52
x51=−80x_{51} = -80
x52=−36x_{52} = -36
x53=78x_{53} = 78
x54=54x_{54} = 54
x55=60x_{55} = 60
x56=−64x_{56} = -64
x57=−40x_{57} = -40
x58=−68x_{58} = -68
x59=26x_{59} = 26
x60=28x_{60} = 28
x61=−38x_{61} = -38
x62=−42x_{62} = -42
x63=−22x_{63} = -22
x64=−84x_{64} = -84
x65=−50x_{65} = -50
x66=38x_{66} = 38
x67=64x_{67} = 64
x68=30x_{68} = 30
x69=14x_{69} = 14
x70=86x_{70} = 86
x71=−6x_{71} = -6
x72=−98x_{72} = -98
x73=−28x_{73} = -28
x74=6x_{74} = 6
x75=−18x_{75} = -18
x76=94x_{76} = 94
x77=48x_{77} = 48
x78=16x_{78} = 16
x79=20x_{79} = 20
x80=2x_{80} = 2
x81=96x_{81} = 96
x82=−26x_{82} = -26
x83=−92x_{83} = -92
x84=−96x_{84} = -96
x85=−8x_{85} = -8
x86=58x_{86} = 58
x87=76x_{87} = 76
x88=−88x_{88} = -88
x89=8x_{89} = 8
x90=−16x_{90} = -16
x91=100x_{91} = 100
x92=−24x_{92} = -24
x93=42x_{93} = 42
x94=84x_{94} = 84
x95=−62x_{95} = -62
x96=56x_{96} = 56
x97=−58x_{97} = -58
x98=−72x_{98} = -72
x99=44x_{99} = 44
Зн. экстремумы в точках:
(34, 4)

(92, 4)

(-100, -4)

(12, 4)

(80, 4)

(4, 4)

(70, 4)

(-82, -4)

(90, 4)

(-14, -4)

(-78, -4)

(-90, -4)

(-46, -4)

(-48, -4)

(46, 4)

(66, 4)

(22, 4)

(72, 4)

(-66, -4)

(-4, -4)

(82, 4)

(98, 4)

(74, 4)

(36, 4)

(-70, -4)

(-54, -4)

(-74, -4)

(-30, -4)

(-32, -4)

(-12, -4)

(52, 4)

(32, 4)

(-60, -4)

(-20, -4)

(40, 4)

(68, 4)

(-86, -4)

(-34, -4)

(24, 4)

(-10, -4)

(18, 4)

(-44, -4)

(62, 4)

(-76, -4)

(50, 4)

(88, 4)

(10, 4)

(-94, -4)

(-56, -4)

(-52, -4)

(-80, -4)

(-36, -4)

(78, 4)

(54, 4)

(60, 4)

(-64, -4)

(-40, -4)

(-68, -4)

(26, 4)

(28, 4)

(-38, -4)

(-42, -4)

(-22, -4)

(-84, -4)

(-50, -4)

(38, 4)

(64, 4)

(30, 4)

(14, 4)

(86, 4)

(-6, -4)

(-98, -4)

(-28, -4)

(6, 4)

(-18, -4)

(94, 4)

(48, 4)

(16, 4)

(20, 4)

(2, 4)

(96, 4)

(-26, -4)

(-92, -4)

(-96, -4)

(-8, -4)

(58, 4)

(76, 4)

(-88, -4)

(8, 4)

(-16, -4)

(100, 4)

(-24, -4)

(42, 4)

(84, 4)

(-62, -4)

(56, 4)

(-58, -4)

(-72, -4)

(44, 4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(−δ(−x+1)+δ(x+3))=02 \left(- \delta\left(- x + 1\right) + \delta\left(x + 3\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−1x_{1} = -1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(−∣−x+1∣+∣x+3∣)=−4\lim_{x \to -\infty}\left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right) = -4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−4y = -4
lim⁡x→∞(−∣−x+1∣+∣x+3∣)=4\lim_{x \to \infty}\left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right) = 4
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=4y = 4
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x + 3| - |1 - x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(−∣−x+1∣+∣x+3∣))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(−∣−x+1∣+∣x+3∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
−∣−x+1∣+∣x+3∣=∣x−3∣−∣x+1∣- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right| = \left|{x - 3}\right| - \left|{x + 1}\right|
- Нет
−∣−x+1∣+∣x+3∣=−∣x−3∣−−∣x+1∣- \left|{- x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right| = - \left|{x - 3}\right| - - \left|{x + 1}\right|
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной