График функции y = (|x|)*log(|x|)

Вы ввели

f(x) = |x|*log(|x|)

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x|*log(|x|).
$$\log{\left(\left|{0}\right| \right)} \left|{0}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} + \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:

   -1    -1 
(-e , -e  )

  -1    -1 
(e , -e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{-1}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{e}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\left(\frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) \left|{x}\right| + 2 \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x|*log(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$
- Да
$$\log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right| = - \log{\left(\left|{x}\right| \right)} \left|{x}\right|$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График