График функции y = (|x^2-4|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       | 2    |
f(x) = |x  - 4|
f(x)=x24f{\left(x \right)} = \left|{x^{2} - 4}\right|
График функции
02468-8-6-4-2-10100100
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x24=0\left|{x^{2} - 4}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Численное решение
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x^2 - 1*4|.
(1)4+02\left|{\left(-1\right) 4 + 0^{2}}\right|
Результат:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2xsign(x24)=02 x \operatorname{sign}{\left (x^{2} - 4 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
x3=2x_{3} = -2
Зн. экстремумы в точках:
(0, 4)

(2, 0)

(-2, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x3=2x_{3} = 2
x3=2x_{3} = -2
Максимумы функции в точках:
x3=0x_{3} = 0
Убывает на промежутках
[-2, 0] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -2] U [0, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(4x2δ(x24)+sign(x24))=02 \cdot \left(4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 4\right) + \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxx24=\lim_{x \to -\infty} \left|{x^{2} - 4}\right| = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limxx24=\lim_{x \to \infty} \left|{x^{2} - 4}\right| = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x^2 - 1*4|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x24x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 4}\right|}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x24x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 4}\right|}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x24=x24\left|{x^{2} - 4}\right| = \left|{x^{2} - 4}\right|
- Да
x24=x24\left|{x^{2} - 4}\right| = - \left|{x^{2} - 4}\right|
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = (|x^2-4|) /media/krcore-image-pods/hash/xy/f/68/a71137dec5fcdb7e3e3f328931137.png