График функции y = 1/(atan(x))

Вы ввели

            1   
f(x) = 1*-------
         atan(x)

$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/atan(x).
$$1 \cdot \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(x + \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -36963.4983804708$$
$$x_{2} = -20014.4654249028$$
$$x_{3} = 34552.1728446784$$
$$x_{4} = -11543.1715980259$$
$$x_{5} = 20992.9957012548$$
$$x_{6} = 11674.2812023086$$
$$x_{7} = -39506.0763790627$$
$$x_{8} = -33573.4488743823$$
$$x_{9} = 26077.3892697666$$
$$x_{10} = -35268.464920553$$
$$x_{11} = 13368.0996429442$$
$$x_{12} = 28619.7473992733$$
$$x_{13} = -14931.0631736726$$
$$x_{14} = 15909.3657459457$$
$$x_{15} = -12390.0199509551$$
$$x_{16} = 18451.0468537562$$
$$x_{17} = 27772.2856041243$$
$$x_{18} = -9849.84634056459$$
$$x_{19} = 39637.2981730849$$
$$x_{20} = -25098.7509275295$$
$$x_{21} = -23403.9257474756$$
$$x_{22} = -10696.4376916029$$
$$x_{23} = 21840.3556823708$$
$$x_{24} = -27641.0752781853$$
$$x_{25} = 35399.6838935398$$
$$x_{26} = 23535.1273249627$$
$$x_{27} = 10827.5280095206$$
$$x_{28} = -16625.3838854398$$
$$x_{29} = 26924.8326135147$$
$$x_{30} = 24382.5354659295$$
$$x_{31} = -29336.0044218641$$
$$x_{32} = 37094.7185968698$$
$$x_{33} = 31162.1785415128$$
$$x_{34} = 19298.3384810428$$
$$x_{35} = 37942.2416954908$$
$$x_{36} = 15062.2208891964$$
$$x_{37} = -13236.9615739558$$
$$x_{38} = -31878.4529769315$$
$$x_{39} = -17472.6070379068$$
$$x_{40} = 9134.4709178039$$
$$x_{41} = 42179.905528052$$
$$x_{42} = -31030.9635994648$$
$$x_{43} = 29467.2172519256$$
$$x_{44} = -25946.1819435246$$
$$x_{45} = -36115.9796249468$$
$$x_{46} = -37811.020918257$$
$$x_{47} = 32009.668853018$$
$$x_{48} = 32857.1649540246$$
$$x_{49} = -15778.2004179215$$
$$x_{50} = 16756.5557280193$$
$$x_{51} = 12521.1451821705$$
$$x_{52} = 38789.7682948189$$
$$x_{53} = 22687.7335199133$$
$$x_{54} = -34420.9545622591$$
$$x_{55} = -28488.5357664978$$
$$x_{56} = -9003.43567417919$$
$$x_{57} = -18319.8645144627$$
$$x_{58} = -42048.6824303037$$
$$x_{59} = 9980.912474663$$
$$x_{60} = 30314.6944972281$$
$$x_{61} = -26793.6237177463$$
$$x_{62} = -38658.5469927142$$
$$x_{63} = -24251.331774895$$
$$x_{64} = -20861.8020386426$$
$$x_{65} = -32725.9482143302$$
$$x_{66} = -21709.1590786967$$
$$x_{67} = -22556.5342926467$$
$$x_{68} = 40484.8311268636$$
$$x_{69} = 14215.1289542549$$
$$x_{70} = -41201.1442796829$$
$$x_{71} = -30183.4805675208$$
$$x_{72} = 33704.6664141607$$
$$x_{73} = 17603.7844984911$$
$$x_{74} = 25229.9565261797$$
$$x_{75} = 20145.6557756236$$
$$x_{76} = 41332.366969216$$
$$x_{77} = -14083.9802104543$$
$$x_{78} = -19167.1518781024$$
$$x_{79} = 36247.1992411849$$
$$x_{80} = -40353.6088711755$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(x + \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(x + \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{2}{\pi}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \frac{2}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{2}{\pi}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/atan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$1 \cdot \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} = \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График