Точки, в которых функция точно неопределена: x1=0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 1⋅atan(x)1=0 Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 1/atan(x). 1⋅atan(0)1 Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная −(x2+1)atan2(x)1=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная (x2+1)2atan2(x)2(x+atan(x)1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−36963.4983804708 x2=−20014.4654249028 x3=34552.1728446784 x4=−11543.1715980259 x5=20992.9957012548 x6=11674.2812023086 x7=−39506.0763790627 x8=−33573.4488743823 x9=26077.3892697666 x10=−35268.464920553 x11=13368.0996429442 x12=28619.7473992733 x13=−14931.0631736726 x14=15909.3657459457 x15=−12390.0199509551 x16=18451.0468537562 x17=27772.2856041243 x18=−9849.84634056459 x19=39637.2981730849 x20=−25098.7509275295 x21=−23403.9257474756 x22=−10696.4376916029 x23=21840.3556823708 x24=−27641.0752781853 x25=35399.6838935398 x26=23535.1273249627 x27=10827.5280095206 x28=−16625.3838854398 x29=26924.8326135147 x30=24382.5354659295 x31=−29336.0044218641 x32=37094.7185968698 x33=31162.1785415128 x34=19298.3384810428 x35=37942.2416954908 x36=15062.2208891964 x37=−13236.9615739558 x38=−31878.4529769315 x39=−17472.6070379068 x40=9134.4709178039 x41=42179.905528052 x42=−31030.9635994648 x43=29467.2172519256 x44=−25946.1819435246 x45=−36115.9796249468 x46=−37811.020918257 x47=32009.668853018 x48=32857.1649540246 x49=−15778.2004179215 x50=16756.5557280193 x51=12521.1451821705 x52=38789.7682948189 x53=22687.7335199133 x54=−34420.9545622591 x55=−28488.5357664978 x56=−9003.43567417919 x57=−18319.8645144627 x58=−42048.6824303037 x59=9980.912474663 x60=30314.6944972281 x61=−26793.6237177463 x62=−38658.5469927142 x63=−24251.331774895 x64=−20861.8020386426 x65=−32725.9482143302 x66=−21709.1590786967 x67=−22556.5342926467 x68=40484.8311268636 x69=14215.1289542549 x70=−41201.1442796829 x71=−30183.4805675208 x72=33704.6664141607 x73=17603.7844984911 x74=25229.9565261797 x75=20145.6557756236 x76=41332.366969216 x77=−14083.9802104543 x78=−19167.1518781024 x79=36247.1992411849 x80=−40353.6088711755 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=0
x→0−lim(x2+1)2atan2(x)2(x+atan(x)1)=−∞ Возьмём предел x→0+lim(x2+1)2atan2(x)2(x+atan(x)1)=∞ Возьмём предел - пределы не равны, зн. x1=0 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(1⋅atan(x)1)=−π2 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=−π2 x→∞lim(1⋅atan(x)1)=π2 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=π2
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/atan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xatan(x)1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(xatan(x)1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 1⋅atan(x)1=−atan(x)1 - Нет 1⋅atan(x)1=atan(x)1 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной
