График функции y = 1/(cos(x)^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            1   
f(x) = 1*-------
            2   
         cos (x)
f(x)=11cos2(x)f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}
График функции
02468-8-6-4-2-1010010000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
11cos2(x)=01 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/cos(x)^2.
11cos2(0)1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(0 \right)}}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2sin(x)cos(x)cos2(x)=0\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

(pi, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[π,)\left[\pi, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(3sin2(x)cos2(x)+1)cos2(x)=0\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(11cos2(x))=0,\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,y = \left\langle 0, \infty\right\rangle
limx(11cos2(x))=0,\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,y = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xcos2(x))=limx(1xcos2(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1xcos2(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
limx(1xcos2(x))=limx(1xcos2(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1xcos2(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
11cos2(x)=11cos2(x)1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}
- Да
11cos2(x)=1cos2(x)1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = 1/(cos(x)^2) /media/krcore-image-pods/hash/xy/9/4e/113d4d89969970c2c2755ef951426.png