Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1.5707963267949
x2=4.71238898038469
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
1⋅cos2(x)1=0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/cos(x)^2.
1⋅cos2(0)1
Результат:
f(0)=1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
cos(x)cos2(x)2sin(x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0
x2=π
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
(pi, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0
x2=π
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[π,∞)
Возрастает на промежутках
(−∞,0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
cos2(x)2⋅(cos2(x)3sin2(x)+1)=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1.5707963267949
x2=4.71238898038469
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(1⋅cos2(x)1)=⟨0,∞⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨0,∞⟩
x→∞lim(1⋅cos2(x)1)=⟨0,∞⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨0,∞⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xcos2(x)1)=x→−∞lim(xcos2(x)1)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xx→−∞lim(xcos2(x)1)
x→∞lim(xcos2(x)1)=x→∞lim(xcos2(x)1)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xx→∞lim(xcos2(x)1)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
1⋅cos2(x)1=1⋅cos2(x)1
- Да
1⋅cos2(x)1=−cos2(x)1
- Нет
значит, функция
является
чётной