График функции y = 1/(log(tan(x)))

Вы ввели

            1     
f(x) = -----------
       log(tan(x))

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/log(tan(x)).
$$\frac{1}{\log{\left (\tan{\left (0 \right )} \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -12.440267902$$
$$x_{2} = 57.993361379$$
$$x_{3} = -25.0066385163$$
$$x_{4} = 14.0110642288$$
$$x_{5} = -68.9889356666$$
$$x_{6} = -84.6968989345$$
$$x_{7} = 37.8252145555$$
$$x_{8} = -6.15708259479$$
$$x_{9} = -18.7234532091$$
$$x_{10} = -34.4314164771$$
$$x_{11} = 43.9822971544$$
$$x_{12} = 87.964594304$$
$$x_{13} = 36.0022128039$$
$$x_{14} = 59.8163631306$$
$$x_{15} = 62.9579557842$$
$$x_{16} = 91.2322896665$$
$$x_{17} = 69.2411410914$$
$$x_{18} = 3.26769536598$$
$$x_{19} = 25.2588439411$$
$$x_{20} = 97.5154749737$$
$$x_{21} = 18.9756586339$$
$$x_{22} = 84.9491043593$$
$$x_{23} = 9.55088067316$$
$$x_{24} = 75.5243263985$$
$$x_{25} = 40.9668072091$$
$$x_{26} = 65.9734457299$$
$$x_{27} = 81.8075117057$$
$$x_{28} = -28.1482311699$$
$$x_{29} = -40.7146017843$$
$$x_{30} = 21.9911485778$$
$$x_{31} = -3.0154899412$$
$$x_{32} = 15.8340659803$$
$$x_{33} = -50.139379745$$
$$x_{34} = -75.2721209738$$
$$x_{35} = -53.2809723986$$
$$x_{36} = -62.7057503594$$
$$x_{37} = -31.2898238235$$
$$x_{38} = -97.2632695489$$
$$x_{39} = -78.4137136274$$
$$x_{40} = -56.4225650522$$
$$x_{41} = -90.9800842417$$
$$x_{42} = 47.2499925162$$
$$x_{43} = -100.404862202$$
$$x_{44} = -94.1216768953$$
$$x_{45} = 31.5420292483$$
$$x_{46} = 53.5331778234$$
$$x_{47} = -46.9977870915$$
$$x_{48} = -72.1305283202$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$

$$\lim_{x \to 0.785398163397448^-}\left(\frac{1}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - 2\right)\right) = -5.84600654932361 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 0.785398163397448^+}\left(\frac{1}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - 2\right)\right) = -5.84600654932361 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -100.404862202]

Выпуклая на промежутках

[97.5154749737, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/log(tan(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} = \frac{1}{\log{\left (- \tan{\left (x \right )} \right )}}$$
- Нет
$$\frac{1}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} = - \frac{1}{\log{\left (- \tan{\left (x \right )} \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной