График функции y = 1/log(x)

Вы ввели

           1   
f(x) = 1*------
         log(x)

$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/log(x).
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{-2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{-2}, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/log(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = \frac{1}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
$$1 \cdot \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График