График функции y = 1/log(x+1)

Вы ввели

           1     
f(x) = ----------
       log(x + 1)

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/log(x + 1).
$$\frac{1}{\log{\left (1 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{\left(x + 1\right) \log^{2}{\left (x + 1 \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1 + \frac{2}{\log{\left (x + 1 \right )}}}{\left(x + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 + e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left (x + 1 \right )}}}{\left(x + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left (x + 1 \right )}}}{\left(x + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1 + exp(-2)]

Выпуклая на промежутках

[-1 + exp(-2), oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/log(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \log{\left (x + 1 \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \log{\left (x + 1 \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}} = \frac{1}{\log{\left (- x + 1 \right )}}$$
- Нет
$$\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}} = - \frac{1}{\log{\left (- x + 1 \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной