График функции y = 1/(|x+5|)

Вы ввели

            1   
f(x) = 1*-------
         |x + 5|

$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{\left|{x + 5}\right|}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{x + 5}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/|x + 5|.
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{0 + 5}\right|}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{5}$$
Точка:

(0, 1/5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\operatorname{sign}{\left(x + 5 \right)}}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \left(\delta\left(x + 5\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x + 5 \right)}}{x + 5}\right)}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x + 5}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x + 5}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/|x + 5|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left|{x + 5}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left|{x + 5}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{x + 5}\right|} = \frac{1}{\left|{x - 5}\right|}$$
- Нет
$$1 \cdot \frac{1}{\left|{x + 5}\right|} = - \frac{1}{\left|{x - 5}\right|}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График