График функции y = 1/(1+tan(x))

Вы ввели

           1     
f(x) = ----------
       1 + tan(x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\tan{\left (x \right )} + 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(1 + tan(x)).
$$\frac{1}{\tan{\left (0 \right )} + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \tan{\left (x \right )} + \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$

$$\lim_{x \to -0.785398163397448^-}\left(\frac{2}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \tan{\left (x \right )} + \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 5.84600654932361 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -0.785398163397448^+}\left(\frac{2}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \tan{\left (x \right )} + \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 5.84600654932361 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/4]

Выпуклая на промежутках

[pi/4, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\tan{\left (x \right )} + 1}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\tan{\left (x \right )} + 1}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(1 + tan(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + 1} = \frac{1}{- \tan{\left (x \right )} + 1}$$
- Нет
$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + 1} = - \frac{1}{- \tan{\left (x \right )} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной