График функции y = 1/sin(x/2)

Вы ввели

         1   
f(x) = ------
          /x\
       sin|-|
          \2/

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/sin(x/2).
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{0}{2} \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(pi, 1)

(3*pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3 \pi$$
Убывает на промежутках

[pi, 3*pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, pi] U [3*pi, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1 + \frac{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}}{4 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/sin(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} = - \frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$
- Нет
$$\frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} = - \frac{-1}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной