График функции
0 -25000 -20000 -15000 -10000 -5000 5000 10000 15000 20000 -200 200
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 2 = 3.14159265358979 x_{2} = 3.14159265358979 x 2 = 3.14159265358979
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 02 + 1 sin ( x ) = 0 2 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} = 0 2 + sin ( x ) 1 = 0 Решаем это уравнение Аналитическое решение x 1 = − π 6 x_{1} = - \frac{\pi}{6} x 1 = − 6 π x 2 = 7 π 6 x_{2} = \frac{7 \pi}{6} x 2 = 6 7 π Численное решение x 1 = − 69.6386371546 x_{1} = -69.6386371546 x 1 = − 69.6386371546 x 2 = − 88.4881930761 x_{2} = -88.4881930761 x 2 = − 88.4881930761 x 3 = − 38.2227106187 x_{3} = -38.2227106187 x 3 = − 38.2227106187 x 4 = 100.007366139 x_{4} = 100.007366139 x 4 = 100.007366139 x 5 = − 52.8834763354 x_{5} = -52.8834763354 x 5 = − 52.8834763354 x 6 = − 78.0162175641 x_{6} = -78.0162175641 x 6 = − 78.0162175641 x 7 = − 15.1843644924 x_{7} = -15.1843644924 x 7 = − 15.1843644924 x 8 = 37.1755130675 x_{8} = 37.1755130675 x 8 = 37.1755130675 x 9 = 41.3643032723 x_{9} = 41.3643032723 x 9 = 41.3643032723 x 10 = 437.204977625 x_{10} = 437.204977625 x 10 = 437.204977625 x 11 = 72.7802298082 x_{11} = 72.7802298082 x 11 = 72.7802298082 x 12 = − 40.3171057211 x_{12} = -40.3171057211 x 12 = − 40.3171057211 x 13 = 9.94837673637 x_{13} = 9.94837673637 x 13 = 9.94837673637 x 14 = 62.3082542962 x_{14} = 62.3082542962 x 14 = 62.3082542962 x 15 = 12.0427718388 x_{15} = 12.0427718388 x 15 = 12.0427718388 x 16 = − 21.4675497995 x_{16} = -21.4675497995 x 16 = − 21.4675497995 x 17 = − 8.90117918517 x_{17} = -8.90117918517 x 17 = − 8.90117918517 x 18 = 49.7418836818 x_{18} = 49.7418836818 x 18 = 49.7418836818 x 19 = − 90.5825881785 x_{19} = -90.5825881785 x 19 = − 90.5825881785 x 20 = − 46.6002910282 x_{20} = -46.6002910282 x 20 = − 46.6002910282 x 21 = − 71.733032257 x_{21} = -71.733032257 x 21 = − 71.733032257 x 22 = 192.160750645 x_{22} = 192.160750645 x 22 = 192.160750645 x 23 = 47.6474885794 x_{23} = 47.6474885794 x 23 = 47.6474885794 x 24 = 87.4409955249 x_{24} = 87.4409955249 x 24 = 87.4409955249 x 25 = − 63.3554518474 x_{25} = -63.3554518474 x 25 = − 63.3554518474 x 26 = − 44.5058959259 x_{26} = -44.5058959259 x 26 = − 44.5058959259 x 27 = − 94.7713783833 x_{27} = -94.7713783833 x 27 = − 94.7713783833 x 28 = − 195.302343298 x_{28} = -195.302343298 x 28 = − 195.302343298 x 29 = − 27.7507351067 x_{29} = -27.7507351067 x 29 = − 27.7507351067 x 30 = 68.5914396034 x_{30} = 68.5914396034 x 30 = 68.5914396034 x 31 = 93.7241808321 x_{31} = 93.7241808321 x 31 = 93.7241808321 x 32 = 5.75958653158 x_{32} = 5.75958653158 x 32 = 5.75958653158 x 33 = − 50.789081233 x_{33} = -50.789081233 x 33 = − 50.789081233 x 34 = − 65.4498469498 x_{34} = -65.4498469498 x 34 = − 65.4498469498 x 35 = 43.4586983747 x_{35} = 43.4586983747 x 35 = 43.4586983747 x 36 = − 0.523598775598 x_{36} = -0.523598775598 x 36 = − 0.523598775598 x 37 = − 96.8657734857 x_{37} = -96.8657734857 x 37 = − 96.8657734857 x 38 = 66.497044501 x_{38} = 66.497044501 x 38 = 66.497044501 x 39 = 22.5147473507 x_{39} = 22.5147473507 x 39 = 22.5147473507 x 40 = − 82.2050077689 x_{40} = -82.2050077689 x 40 = − 82.2050077689 x 41 = − 84.2994028713 x_{41} = -84.2994028713 x 41 = − 84.2994028713 x 42 = 30.8923277603 x_{42} = 30.8923277603 x 42 = 30.8923277603 x 43 = 18.3259571459 x_{43} = 18.3259571459 x 43 = 18.3259571459 x 44 = 79.0634151153 x_{44} = 79.0634151153 x 44 = 79.0634151153 x 45 = − 57.0722665402 x_{45} = -57.0722665402 x 45 = − 57.0722665402 x 46 = − 13.08996939 x_{46} = -13.08996939 x 46 = − 13.08996939 x 47 = 85.3466004225 x_{47} = 85.3466004225 x 47 = 85.3466004225 x 48 = − 34.0339204139 x_{48} = -34.0339204139 x 48 = − 34.0339204139 x 49 = 81.1578102177 x_{49} = 81.1578102177 x 49 = 81.1578102177 x 50 = − 101.05456369 x_{50} = -101.05456369 x 50 = − 101.05456369 x 51 = 53.9306738866 x_{51} = 53.9306738866 x 51 = 53.9306738866 x 52 = 56.025068989 x_{52} = 56.025068989 x 52 = 56.025068989 x 53 = − 151.320046148 x_{53} = -151.320046148 x 53 = − 151.320046148 x 54 = 35.0811179651 x_{54} = 35.0811179651 x 54 = 35.0811179651 x 55 = − 2.61799387799 x_{55} = -2.61799387799 x 55 = − 2.61799387799 x 56 = 3.66519142919 x_{56} = 3.66519142919 x 56 = 3.66519142919 x 57 = 24.6091424531 x_{57} = 24.6091424531 x 57 = 24.6091424531 x 58 = 28.7979326579 x_{58} = 28.7979326579 x 58 = 28.7979326579 x 59 = − 6.80678408278 x_{59} = -6.80678408278 x 59 = − 6.80678408278 x 60 = 97.9129710369 x_{60} = 97.9129710369 x 60 = 97.9129710369 x 61 = 74.8746249106 x_{61} = 74.8746249106 x 61 = 74.8746249106 x 62 = − 59.1666616426 x_{62} = -59.1666616426 x 62 = − 59.1666616426 x 63 = 60.2138591938 x_{63} = 60.2138591938 x 63 = 60.2138591938 x 64 = − 19.3731546971 x_{64} = -19.3731546971 x 64 = − 19.3731546971 x 65 = 91.6297857297 x_{65} = 91.6297857297 x 65 = 91.6297857297 x 66 = − 31.9395253115 x_{66} = -31.9395253115 x 66 = − 31.9395253115 x 67 = − 25.6563400043 x_{67} = -25.6563400043 x 67 = − 25.6563400043 x 68 = 66400.1787275 x_{68} = 66400.1787275 x 68 = 66400.1787275 x 69 = 16.2315620435 x_{69} = 16.2315620435 x 69 = 16.2315620435 x 70 = − 75.9218224618 x_{70} = -75.9218224618 x 70 = − 75.9218224618
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:1 sin ( 0 ) + 2 \frac{1}{\sin{\left (0 \right )}} + 2 sin ( 0 ) 1 + 2 f ( 0 ) = ∞ ~ f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty} f ( 0 ) = ∞ ~
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеd d x f ( x ) = 0 \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0 d x d f ( x ) = 0 d d x f ( x ) = \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = d x d f ( x ) = Первая производная − cos ( x ) sin 2 ( x ) = 0 - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0 − sin 2 ( x ) cos ( x ) = 0 Решаем это уравнение x 1 = π 2 x_{1} = \frac{\pi}{2} x 1 = 2 π x 2 = 3 π 2 x_{2} = \frac{3 \pi}{2} x 2 = 2 3 π pi
(--, 3)
2 3*pi
(----, 1)
2 Интервалы возрастания и убывания функции: x 2 = π 2 x_{2} = \frac{\pi}{2} x 2 = 2 π x 2 = 3 π 2 x_{2} = \frac{3 \pi}{2} x 2 = 2 3 π [pi/2, 3*pi/2] (-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнениеd 2 d x 2 f ( x ) = 0 \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0 d x 2 d 2 f ( x ) = 0 d 2 d x 2 f ( x ) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = d x 2 d 2 f ( x ) = Вторая производная 1 sin ( x ) ( 1 + 2 cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) ) = 0 \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) = 0 sin ( x ) 1 ( 1 + sin 2 ( x ) 2 cos 2 ( x ) ) = 0 Решаем это уравнение
Вертикальные асимптоты
Есть:x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 2 = 3.14159265358979 x_{2} = 3.14159265358979 x 2 = 3.14159265358979
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-ooTrue Возьмём предел y = lim x → − ∞ ( 2 + 1 sin ( x ) ) y = \lim_{x \to -\infty}\left(2 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right) y = x → − ∞ lim ( 2 + sin ( x ) 1 ) True Возьмём предел y = lim x → ∞ ( 2 + 1 sin ( x ) ) y = \lim_{x \to \infty}\left(2 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right) y = x → ∞ lim ( 2 + sin ( x ) 1 )
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/sin(x) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oolim x → − ∞ ( 1 x ( 2 + 1 sin ( x ) ) ) = 0 \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)\right) = 0 x → − ∞ lim ( x 1 ( 2 + sin ( x ) 1 ) ) = 0 Возьмём предел lim x → ∞ ( 1 x ( 2 + 1 sin ( x ) ) ) = 0 \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)\right) = 0 x → ∞ lim ( x 1 ( 2 + sin ( x ) 1 ) ) = 0 Возьмём предел
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).2 + 1 sin ( x ) = 2 − 1 sin ( x ) 2 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} = 2 - \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} 2 + sin ( x ) 1 = 2 − sin ( x ) 1 2 + 1 sin ( x ) = − 2 − − 1 sin ( x ) 2 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} = -2 - - \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} 2 + sin ( x ) 1 = − 2 − − sin ( x ) 1 