График функции y = 1/sin(x)+cos(x)

Вы ввели

           1            
f(x) = 1*------ + cos(x)
         sin(x)         

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/sin(x) + cos(x).
$$\cos{\left(0 \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:

       /       / 6    4      3    2       \\                         1                              /      /       / 6    4      3    2       \\\ 
(2*atan\CRootOf\x  + x  - 8*x  - x  - 1, 0//, ------------------------------------------------ + cos\2*atan\CRootOf\x  + x  - 8*x  - x  - 1, 0///)
                                                 /      /       / 6    4      3    2       \\\                                                    
                                              sin\2*atan\CRootOf\x  + x  - 8*x  - x  - 1, 0///                                                    

       /       / 6    4      3    2       \\                         1                              /      /       / 6    4      3    2       \\\ 
(2*atan\CRootOf\x  + x  - 8*x  - x  - 1, 1//, ------------------------------------------------ + cos\2*atan\CRootOf\x  + x  - 8*x  - x  - 1, 1///)
                                                 /      /       / 6    4      3    2       \\\                                                    
                                              sin\2*atan\CRootOf\x  + x  - 8*x  - x  - 1, 1///                                                    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/sin(x) + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$\cos{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = - \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График