График функции y = 1/(sin(x)+cos(x))

Вы ввели

              1       
f(x) = ---------------
       sin(x) + cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(sin(x) + cos(x)).
$$\frac{1}{\sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

           ___  
 -3*pi  -\/ 2   
(-----, -------)
   4       2    

       ___ 
 pi  \/ 2  
(--, -----)
 4     2   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3*pi/4] U [pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[-3*pi/4, pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(sin(x) + cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} = \frac{1}{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} = - \frac{1}{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной