График функции y = 1/(sin(x)+1)

Вы ввели

           1     
f(x) = ----------
       sin(x) + 1

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(sin(x) + 1).
$$\frac{1}{\sin{\left (0 \right )} + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi      
(--, 1/2)
 2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} = \langle \frac{1}{2}, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle \frac{1}{2}, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} = \langle \frac{1}{2}, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle \frac{1}{2}, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(sin(x) + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} = \frac{1}{- \sin{\left (x \right )} + 1}$$
- Нет
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} = - \frac{1}{- \sin{\left (x \right )} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной