График функции y = (1/3)^(|x|)

Вы ввели

        -|x|
f(x) = 3    

$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1/3)^|x|.
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{0}\right|}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3^{- \left|{x}\right|} \log{\left(3 \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 113.295188637968$$
$$x_{2} = -108.985557061373$$
$$x_{3} = 59.295188637968$$
$$x_{4} = 41.295188637968$$
$$x_{5} = -72.9855570613729$$
$$x_{6} = -86.9855570613729$$
$$x_{7} = 117.295188637968$$
$$x_{8} = -56.9855570613729$$
$$x_{9} = -46.9855570613729$$
$$x_{10} = 67.2951886379681$$
$$x_{11} = -26.9855570613729$$
$$x_{12} = -66.9855570613729$$
$$x_{13} = 95.2951886379681$$
$$x_{14} = -38.9855570613729$$
$$x_{15} = -48.9855570613729$$
$$x_{16} = -76.9855570613729$$
$$x_{17} = 89.2951886379681$$
$$x_{18} = -28.9855570613729$$
$$x_{19} = 81.2951886379681$$
$$x_{20} = -92.9855570613729$$
$$x_{21} = 77.2951886379681$$
$$x_{22} = 45.295188637968$$
$$x_{23} = -110.985557061373$$
$$x_{24} = -78.9855570613729$$
$$x_{25} = -98.9855570613729$$
$$x_{26} = 69.2951886379681$$
$$x_{27} = -70.9855570613729$$
$$x_{28} = 27.295188637968$$
$$x_{29} = 47.295188637968$$
$$x_{30} = -80.9855570613729$$
$$x_{31} = -114.985557061373$$
$$x_{32} = -116.985557061373$$
$$x_{33} = 83.2951886379681$$
$$x_{34} = 87.2951886379681$$
$$x_{35} = 101.295188637968$$
$$x_{36} = 31.295188637968$$
$$x_{37} = 115.295188637968$$
$$x_{38} = -58.9855570613729$$
$$x_{39} = 111.295188637968$$
$$x_{40} = 29.295188637968$$
$$x_{41} = -74.9855570613729$$
$$x_{42} = -102.985557061373$$
$$x_{43} = -112.985557061373$$
$$x_{44} = -94.9855570613729$$
$$x_{45} = 63.295188637968$$
$$x_{46} = -54.9855570613729$$
$$x_{47} = -40.9855570613729$$
$$x_{48} = 51.295188637968$$
$$x_{49} = -52.9855570613729$$
$$x_{50} = 0$$
$$x_{51} = -44.9855570613729$$
$$x_{52} = 25.295188637968$$
$$x_{53} = -90.9855570613729$$
$$x_{54} = -64.9855570613729$$
$$x_{55} = -62.9855570613729$$
$$x_{56} = -96.9855570613729$$
$$x_{57} = -50.9855570613729$$
$$x_{58} = 35.295188637968$$
$$x_{59} = -30.9855570613729$$
$$x_{60} = -34.9855570613729$$
$$x_{61} = -88.9855570613729$$
$$x_{62} = 97.2951886379681$$
$$x_{63} = 53.295188637968$$
$$x_{64} = 105.295188637968$$
$$x_{65} = 49.295188637968$$
$$x_{66} = 55.295188637968$$
$$x_{67} = 33.295188637968$$
$$x_{68} = 73.2951886379681$$
$$x_{69} = -82.9855570613729$$
$$x_{70} = 103.295188637968$$
$$x_{71} = -106.985557061373$$
$$x_{72} = 39.295188637968$$
$$x_{73} = -42.9855570613729$$
$$x_{74} = 57.295188637968$$
$$x_{75} = 71.2951886379681$$
$$x_{76} = 107.295188637968$$
$$x_{77} = 93.2951886379681$$
$$x_{78} = 119.295188637968$$
$$x_{79} = -68.9855570613729$$
$$x_{80} = 61.295188637968$$
$$x_{81} = -36.9855570613729$$
$$x_{82} = 79.2951886379681$$
$$x_{83} = 65.2951886379681$$
$$x_{84} = -32.9855570613729$$
$$x_{85} = 37.295188637968$$
$$x_{86} = -118.985557061373$$
$$x_{87} = -60.9855570613729$$
$$x_{88} = -100.985557061373$$
$$x_{89} = -104.985557061373$$
$$x_{90} = -84.9855570613729$$
$$x_{91} = 85.2951886379681$$
$$x_{92} = 99.2951886379681$$
$$x_{93} = 91.2951886379681$$
$$x_{94} = 75.2951886379681$$
$$x_{95} = 109.295188637968$$
$$x_{96} = 43.295188637968$$
Зн. экстремумы в точках:

(113.295188637968, 8.79948881004443e-55)

(-108.985557061373, 1.00155376657303e-52)

(59.295188637968, 5.11687960065283e-29)

(41.295188637968, 1.98238399703905e-20)

(-72.9855570613729, 1.50327847324115e-35)

(-86.9855570613729, 3.14298184504467e-42)

(117.295188637968, 1.08635664321536e-56)

(-56.9855570613729, 6.47112090229177e-28)

(-46.9855570613729, 3.82113218159427e-23)

(67.2951886379681, 7.79893248079986e-33)

(-26.9855570613729, 1.3323464084942e-13)

(-66.9855570613729, 1.0958900069928e-32)

(95.2951886379681, 3.40910225773744e-46)

(-38.9855570613729, 2.507044824344e-19)

(-48.9855570613729, 4.24570242399363e-24)

(-76.9855570613729, 1.85589934968043e-37)

(89.2951886379681, 2.4852355458906e-43)

(-28.9855570613729, 1.48038489832688e-14)

(81.2951886379681, 1.63056304165882e-39)

(-92.9855570613729, 4.31136055561683e-45)

(77.2951886379681, 1.32075606374365e-37)

(45.295188637968, 2.44738765066549e-22)

(-110.985557061373, 1.11283751841448e-53)

(-78.9855570613729, 2.06211038853381e-38)

(-98.9855570613729, 5.91407483623708e-48)

(69.2951886379681, 8.66548053422206e-34)

(-70.9855570613729, 1.35295062591703e-34)

(27.295188637968, 9.48168120393382e-14)

(47.295188637968, 2.71931961185054e-23)

(-80.9855570613729, 2.29123376503757e-39)

(-114.985557061373, 1.37387347952404e-55)

(-116.985557061373, 1.52652608836005e-56)

(83.2951886379681, 1.81173671295425e-40)

(87.2951886379681, 2.23671199130154e-42)

(101.295188637968, 4.67640913269882e-49)

(31.295188637968, 1.17057792641158e-15)

(115.295188637968, 9.77720978893825e-56)

(-58.9855570613729, 7.19013433587974e-29)

(111.295188637968, 7.91953992903999e-54)

(29.295188637968, 1.05352013377042e-14)

(-74.9855570613729, 1.67030941471239e-36)

(-102.985557061373, 7.30132695831738e-50)

(-112.985557061373, 1.23648613157164e-54)

(-94.9855570613729, 4.79040061735203e-46)

(63.295188637968, 6.31713530944794e-31)

(-54.9855570613729, 5.82400881206259e-27)

(-40.9855570613729, 2.78560536038222e-20)

(51.295188637968, 3.35718470598832e-25)

(-52.9855570613729, 5.24160793085634e-26)

(0, 1)

(-44.9855570613729, 3.43901896343484e-22)

(25.295188637968, 8.53351308354044e-13)

(-90.9855570613729, 3.88022450005515e-44)

(-64.9855570613729, 9.86301006293517e-32)

(-62.9855570613729, 8.87670905664166e-31)

(-96.9855570613729, 5.32266735261337e-47)

(-50.9855570613729, 4.7174471377707e-25)

(35.295188637968, 1.44515793384147e-17)

(-30.9855570613729, 1.64487210925209e-15)

(-34.9855570613729, 2.03070630771864e-17)

(-88.9855570613729, 3.49220205004963e-43)

(97.2951886379681, 3.78789139748605e-47)

(53.295188637968, 3.73020522887591e-26)

(105.295188637968, 5.77334460827015e-51)

(49.295188637968, 3.02146623538949e-24)

(55.295188637968, 4.14467247652879e-27)

(33.295188637968, 1.30064214045732e-16)

(73.2951886379681, 1.06981241163235e-35)

(-82.9855570613729, 2.54581529448618e-40)

(103.295188637968, 5.19601014744314e-50)

(-106.985557061373, 9.01398389915726e-52)

(39.295188637968, 1.78414559733514e-19)

(-42.9855570613729, 3.09511706709136e-21)

(57.295188637968, 4.60519164058755e-28)

(71.2951886379681, 9.62831170469118e-35)

(107.295188637968, 6.41482734252239e-52)

(93.2951886379681, 3.0681920319637e-45)

(119.295188637968, 1.20706293690596e-57)

(-68.9855570613729, 1.21765556332533e-33)

(61.295188637968, 5.68542177850314e-30)

(-36.9855570613729, 2.2563403419096e-18)

(79.2951886379681, 1.46750673749294e-38)

(65.2951886379681, 7.01903923271987e-32)

(-32.9855570613729, 1.82763567694678e-16)

(37.295188637968, 1.60573103760163e-18)

(-118.985557061373, 1.69614009817783e-57)

(-60.9855570613729, 7.98903815097749e-30)

(-100.985557061373, 6.57119426248564e-49)

(-104.985557061373, 8.11258550924153e-51)

(-84.9855570613729, 2.8286836605402e-41)

(85.2951886379681, 2.01304079217138e-41)

(99.2951886379681, 4.20876821942894e-48)

(91.2951886379681, 2.76137282876733e-44)

(75.2951886379681, 1.18868045736928e-36)

(109.295188637968, 7.12758593613599e-53)

(43.295188637968, 2.20264888559894e-21)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{96} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3^{- \left|{x}\right|} \left(- 2 \delta\left(x\right) + \log{\left(3 \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(3 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1/3)^|x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{- \left|{x}\right|}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- \left|{x}\right|}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|}$$
- Да
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|} = - \left(\frac{1}{3}\right)^{\left|{x}\right|}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График