График функции y = 1/(x-x^3)

Вы ввели

         1   
f(x) = ------
            3
       x - x 

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{- x^{3} + x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{- x^{3} + x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(x - x^3).
$$\frac{1}{-1 \cdot 0^{3}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 x^{2} - 1}{\left(- x^{3} + x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___        ___ 
 -\/ 3    -3*\/ 3  
(-------, --------)
    3        2     

   ___      ___ 
 \/ 3   3*\/ 3  
(-----, -------)
   3       2    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x \left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(6 - \frac{2 \left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{- x^{3} + x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- x^{3} + x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x - x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(- x^{3} + x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(- x^{3} + x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{- x^{3} + x} = \frac{1}{x^{3} - x}$$
- Нет
$$\frac{1}{- x^{3} + x} = - \frac{1}{x^{3} - x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной