График функции y = 1/x+x^3

Вы ввели

       1    3
f(x) = - + x 
       x     

$$f{\left (x \right )} = x^{3} + \frac{1}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/x + x^3.
$$\frac{1}{0} + 0^{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

   3/4      4 ___ 
 -3      -4*\/ 3  
(------, --------)
   3        3     

  3/4    4 ___ 
 3     4*\/ 3  
(----, -------)
  3       3    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3**(3/4)/3] U [3**(3/4)/3, oo)

Возрастает на промежутках

[-3**(3/4)/3, 3**(3/4)/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \frac{1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/x + x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + \frac{1}{x} = - x^{3} - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$x^{3} + \frac{1}{x} = - -1 x^{3} - - \frac{1}{x}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной