График функции y = 1-2*cos(x)

Вы ввели

f(x) = 1 - 2*cos(x)

$$f{\left (x \right )} = - 2 \cos{\left (x \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{2} = -13.6135681656$$
$$x_{3} = 11.5191730632$$
$$x_{4} = -89.0117918517$$
$$x_{5} = -26.1799387799$$
$$x_{6} = 49.2182849062$$
$$x_{7} = 86.9173967493$$
$$x_{8} = 74.351026135$$
$$x_{9} = 42.9350995991$$
$$x_{10} = -57.5958653158$$
$$x_{11} = -63.879050623$$
$$x_{12} = -38.7463093943$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{16} = -359.18876006$$
$$x_{17} = 99.4837673637$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{19} = 82.7286065445$$
$$x_{20} = 76.4454212374$$
$$x_{21} = -80.6342114421$$
$$x_{22} = 13.6135681656$$
$$x_{23} = -76.4454212374$$
$$x_{24} = 7.33038285838$$
$$x_{25} = -32.4631240871$$
$$x_{26} = 63.879050623$$
$$x_{27} = 57.5958653158$$
$$x_{28} = -36.6519142919$$
$$x_{29} = 95.2949771589$$
$$x_{30} = 36.6519142919$$
$$x_{31} = 26.1799387799$$
$$x_{32} = 93.2005820565$$
$$x_{33} = -17.8023583703$$
$$x_{34} = 19.8967534727$$
$$x_{35} = 1651.43053824$$
$$x_{36} = -82.7286065445$$
$$x_{37} = -99.4837673637$$
$$x_{38} = 32.4631240871$$
$$x_{39} = 68.0678408278$$
$$x_{40} = 55.5014702134$$
$$x_{41} = -11.5191730632$$
$$x_{42} = -1.0471975512$$
$$x_{43} = 80.6342114421$$
$$x_{44} = 24.0855436775$$
$$x_{45} = 5.23598775598$$
$$x_{46} = 51.3126800086$$
$$x_{47} = -42.9350995991$$
$$x_{48} = -24.0855436775$$
$$x_{49} = -51.3126800086$$
$$x_{50} = 45.0294947015$$
$$x_{51} = -49.2182849062$$
$$x_{52} = -30.3687289847$$
$$x_{53} = -19.8967534727$$
$$x_{54} = -95.2949771589$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{57} = -5.23598775598$$
$$x_{58} = -7.33038285838$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{60} = 1.0471975512$$
$$x_{61} = 70.1622359302$$
$$x_{62} = -45.0294947015$$
$$x_{63} = 17.8023583703$$
$$x_{64} = 30.3687289847$$
$$x_{65} = -55.5014702134$$
$$x_{66} = -74.351026135$$
$$x_{67} = -225.147473507$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - 2*cos(x).
$$- 2 \cos{\left (0 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$2 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1)

(pi, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках

[0, pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \cos{\left (x \right )} + 1\right) = \langle -1, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 3\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \cos{\left (x \right )} + 1\right) = \langle -1, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 3\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - 2*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 \cos{\left (x \right )} + 1 = - 2 \cos{\left (x \right )} + 1$$
- Да
$$- 2 \cos{\left (x \right )} + 1 = - -1 \cdot 2 \cos{\left (x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной