График функции y = 1-log(cos(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = 1 - log(cos(x))
f(x)=log(cos(x))+1f{\left (x \right )} = - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1
График функции
0-25000-20000-15000-10000-5000500010000150002000025000010
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(cos(x))+1=0- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - log(cos(x)).
log(cos(0))+1- \log{\left (\cos{\left (0 \right )} \right )} + 1
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sin(x)cos(x)=0\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

(pi, 1 - pi*I)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[pi, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
sin2(x)cos2(x)+1=0\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(log(cos(x))+1)=log(1,1)+1\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right) = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=log(1,1)+1y = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1
limx(log(cos(x))+1)=log(1,1)+1\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right) = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=log(1,1)+1y = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - log(cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(log(cos(x))+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(log(cos(x))+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(cos(x))+1=log(cos(x))+1- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1 = - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1
- Да
log(cos(x))+1=1log(cos(x))1- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 1 = - -1 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - 1
- Нет
значит, функция
является
чётной