График функции y = 1-log(sin(x))

Вы ввели

f(x) = 1 - log(sin(x))

$$f{\left (x \right )} = - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - log(sin(x)).
$$- \log{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi           
(----, 1 - pi*I)
  2             

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1\right) = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1\right) = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - log(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1 = - \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )} + 1$$
- Нет
$$- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1 = - -1 \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной