График функции y = (1-log(x))/(x+1)

Вы ввели

       1 - log(x)
f(x) = ----------
         x + 1   

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x + 1} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = e$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.71828182846$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 - log(x))/(x + 1).

1 - log(0)
----------
    1     

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (e^{-2} \right )} + 2}$$
Зн. экстремумы в точках:

              / -2\                 / -2\   
  2 + LambertW\e  /    -1 - LambertW\e  /   
(e                , ----------------------)
                                      / -2\ 
                          2 + LambertW\e  / 
                     1 + e                  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (e^{-2} \right )} + 2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[exp(LambertW(exp(-2)) + 2), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, exp(LambertW(exp(-2)) + 2)]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x + 1} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x + 1} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 - log(x))/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left (x \right )} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left (x \right )} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x + 1} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) = \frac{- \log{\left (- x \right )} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{1}{x + 1} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) = - \frac{- \log{\left (- x \right )} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной