Графики функций/ Построение в 2D/ y = (1-(|x|))/((|x|)-2)

График функции y = (1-(|x|))/((|x|)-2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       1 - |x|
f(x) = -------
       |x| - 2
f(x)=−∣x∣+1∣x∣−2f{\left (x \right )} = \frac{- \left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 2}
График функции
0-40-30-20-1010203040-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
−∣x∣+1∣x∣−2=0\frac{- \left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 - |x|)/(|x| - 2).
−∣0∣+1−2+∣0∣\frac{- \left|{0}\right| + 1}{-2 + \left|{0}\right|}
Результат:
f(0)=−12f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{2}
Точка:
(0, -1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−sign⁡(x)(∣x∣−2)2(−∣x∣+1)−sign⁡(x)∣x∣−2=0- \frac{\operatorname{sign}{\left (x \right )}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} \left(- \left|{x}\right| + 1\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left (x \right )}}{\left|{x}\right| - 2} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1∣x∣−2(−2δ(x)+2(∣x∣−1)δ(x)∣x∣−2+2sign⁡2(x)∣x∣−2−2sign⁡2(x)(∣x∣−2)2(∣x∣−1))=0\frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \left(- 2 \delta\left(x\right) + \frac{2 \left(\left|{x}\right| - 1\right) \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right| - 2} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} \left(\left|{x}\right| - 1\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 - |x|)/(|x| - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(−∣x∣+1x(∣x∣−2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left|{x}\right| + 1}{x \left(\left|{x}\right| - 2\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(−∣x∣+1x(∣x∣−2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left|{x}\right| + 1}{x \left(\left|{x}\right| - 2\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
−∣x∣+1∣x∣−2=−∣x∣+1∣x∣−2\frac{- \left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 2} = \frac{- \left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 2}
- Да
−∣x∣+1∣x∣−2=−−∣x∣+1∣x∣−2\frac{- \left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 2} = - \frac{- \left|{x}\right| + 1}{\left|{x}\right| - 2}
- Нет
значит, функция
является
чётной