График функции y = 1-5*x+3*x^2

Вы ввели

                    2
f(x) = 1 - 5*x + 3*x 

$$f{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 5 x + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.43425854591066$$
$$x_{2} = 0.232408120756002$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - 5*x + 3*x^2.
$$- 0 \cdot 5 + 3 \cdot 0^{2} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$6 x - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

      -13  
(5/6, ----)
       12  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{6}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{5}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{6}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$6 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{2} - 5 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} - 5 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - 5*x + 3*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} - 5 x + 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 5 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 x^{2} - 5 x + 1 = 3 x^{2} + 5 x + 1$$
- Нет
$$3 x^{2} - 5 x + 1 = - 3 x^{2} - 5 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График