График функции y = 1-sin(3*x)

Вы ввели

f(x) = 1 - sin(3*x)

$$f{\left (x \right )} = - \sin{\left (3 x \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sin{\left (3 x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 48.6946859684$$
$$x_{2} = 6.80678394974$$
$$x_{3} = 80.1106131529$$
$$x_{4} = 21.4675499465$$
$$x_{5} = -85.3466004035$$
$$x_{6} = -89.5353907408$$
$$x_{7} = -41.3643034313$$
$$x_{8} = -14.137166843$$
$$x_{9} = 84.2994028383$$
$$x_{10} = -91.6297858015$$
$$x_{11} = 19.3731547553$$
$$x_{12} = 17.2787592808$$
$$x_{13} = 52.8834762893$$
$$x_{14} = -51.8362786905$$
$$x_{15} = -16.2315619073$$
$$x_{16} = -7.85398150192$$
$$x_{17} = 54.9778717979$$
$$x_{18} = 94.7713782337$$
$$x_{19} = 46.6002908749$$
$$x_{20} = -1.57079642588$$
$$x_{21} = -28.7979326033$$
$$x_{22} = -85.3466005834$$
$$x_{23} = -3.66519148255$$
$$x_{24} = 69.6386373203$$
$$x_{25} = -100.007366131$$
$$x_{26} = 42.4115007321$$
$$x_{27} = 90.5825880288$$
$$x_{28} = -81.1578103225$$
$$x_{29} = -22.5147471968$$
$$x_{30} = -83.2522054763$$
$$x_{31} = -12.0427717978$$
$$x_{32} = 40.3171056776$$
$$x_{33} = -43.4586985139$$
$$x_{34} = 73.8274274735$$
$$x_{35} = 4.71238881902$$
$$x_{36} = -49.7418836877$$
$$x_{37} = -60.2138590636$$
$$x_{38} = -24.6091423681$$
$$x_{39} = -45.5530935835$$
$$x_{40} = -64.4026492298$$
$$x_{41} = 71.733032404$$
$$x_{42} = 25.6563401677$$
$$x_{43} = 50.7890810906$$
$$x_{44} = -68.5914394977$$
$$x_{45} = -47.6474886423$$
$$x_{46} = -56.025068963$$
$$x_{47} = -62.3082541392$$
$$x_{48} = -18.3259569855$$
$$x_{49} = 31.9395253655$$
$$x_{50} = 29.8451303155$$
$$x_{51} = 75.9218225274$$
$$x_{52} = 10.9955746929$$
$$x_{53} = 38.2227106406$$
$$x_{54} = 63.3554518703$$
$$x_{55} = 96.86577341$$
$$x_{56} = -3.66519119284$$
$$x_{57} = -26.7035377567$$
$$x_{58} = -87.440995669$$
$$x_{59} = -53.9306741018$$
$$x_{60} = -35.0811179202$$
$$x_{61} = 65.4498470877$$
$$x_{62} = 61.2610563292$$
$$x_{63} = 88.4881929539$$
$$x_{64} = -58.1194640022$$
$$x_{65} = -39.2699083293$$
$$x_{66} = 86.3937978905$$
$$x_{67} = 23.5619450702$$
$$x_{68} = 34.0339203588$$
$$x_{69} = 67.544242219$$
$$x_{70} = 92.6769831187$$
$$x_{71} = 2.6179937215$$
$$x_{72} = -37.175513146$$
$$x_{73} = -5.75958652427$$
$$x_{74} = -20.4203520794$$
$$x_{75} = -37.1755131882$$
$$x_{76} = 0.523598641616$$
$$x_{77} = -9.94837684429$$
$$x_{78} = 98.96016883$$
$$x_{79} = 78.0162175421$$
$$x_{80} = 82.2050078076$$
$$x_{81} = 44.5058957976$$
$$x_{82} = -70.6858348165$$
$$x_{83} = -95.8185758683$$
$$x_{84} = -66.4970445282$$
$$x_{85} = -66.4970443417$$
$$x_{86} = 27.7507352486$$
$$x_{87} = -79.0634150012$$
$$x_{88} = -93.7241808502$$
$$x_{89} = 8.90117917814$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - sin(3*x).
$$- \sin{\left (0 \cdot 3 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 3 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 0)
 6     

 pi    
(--, 2)
 2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[pi/6, pi/2]

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/6] U [pi/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$9 \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, pi/3]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/3, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left (3 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left (3 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - sin(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (3 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (3 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sin{\left (3 x \right )} + 1 = \sin{\left (3 x \right )} + 1$$
- Нет
$$- \sin{\left (3 x \right )} + 1 = - \sin{\left (3 x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной