График функции y = 1+cos(3*x)

Вы ввели

f(x) = 1 + cos(3*x)

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при ChainedEq(f, 0)
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(3 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -17.8023583238223$$
$$x_{2} = -59.6902604573636$$
$$x_{3} = 15.7079634213668$$
$$x_{4} = -70.1622358204673$$
$$x_{5} = 59.6902605755492$$
$$x_{6} = -89.0117914375586$$
$$x_{7} = 34.5575190458158$$
$$x_{8} = -30.3687288181742$$
$$x_{9} = -28.2743337333192$$
$$x_{10} = -3.14159273948893$$
$$x_{11} = -55.501470339224$$
$$x_{12} = 42.9350997066251$$
$$x_{13} = 9.42477808135176$$
$$x_{14} = -15.7079632964021$$
$$x_{15} = 21.9911485851801$$
$$x_{16} = 70.1622360266582$$
$$x_{17} = 76.4454211314942$$
$$x_{18} = -5.23598790794418$$
$$x_{19} = 61.7846556513336$$
$$x_{20} = 30.3687289136091$$
$$x_{21} = 11.5191732261809$$
$$x_{22} = 97.3893723442985$$
$$x_{23} = 7.33038281101878$$
$$x_{24} = -93.2005821937681$$
$$x_{25} = 74.3510260729228$$
$$x_{26} = -99.4837674953423$$
$$x_{27} = -49.2182850519149$$
$$x_{28} = -74.3510259705245$$
$$x_{29} = -45.0294943910096$$
$$x_{30} = 84.8230015250443$$
$$x_{31} = -24.0855436072883$$
$$x_{32} = -36.6519142867263$$
$$x_{33} = 57.595865484629$$
$$x_{34} = 40.8407043904405$$
$$x_{35} = -82.7286069074292$$
$$x_{36} = 93.2005824359632$$
$$x_{37} = -21.9911485864683$$
$$x_{38} = -38.7463098041192$$
$$x_{39} = 19.8967535532584$$
$$x_{40} = 38.7463092377642$$
$$x_{41} = -32.4631239211685$$
$$x_{42} = 55.5014703723413$$
$$x_{43} = 28.2743338652382$$
$$x_{44} = -61.7846554919628$$
$$x_{45} = 78.5398162009252$$
$$x_{46} = -7.33038302030457$$
$$x_{47} = -80.6342113974683$$
$$x_{48} = -34.5575190560831$$
$$x_{49} = 65.9734457527543$$
$$x_{50} = 17.8023584945614$$
$$x_{51} = 51.3126798911883$$
$$x_{52} = 32.463123974206$$
$$x_{53} = 80.6342112833208$$
$$x_{54} = 99.4837675171026$$
$$x_{55} = -95.2949773207426$$
$$x_{56} = -1.04719735385243$$
$$x_{57} = 72.2566310277214$$
$$x_{58} = 13.6135683335585$$
$$x_{59} = -9.42477810882172$$
$$x_{60} = 82.7286063849234$$
$$x_{61} = -72.2566308884953$$
$$x_{62} = 86.9173967892295$$
$$x_{63} = 63.8790507130208$$
$$x_{64} = -11.5191731827034$$
$$x_{65} = 53.4070752151879$$
$$x_{66} = -68.0678407687851$$
$$x_{67} = -13.6135682453022$$
$$x_{68} = -51.3126801709688$$
$$x_{69} = -53.4070752629576$$
$$x_{70} = -91.1061869787177$$
$$x_{71} = 95.294976948998$$
$$x_{72} = -47.1238898632468$$
$$x_{73} = -26.1799386626996$$
$$x_{74} = -19.8967529903279$$
$$x_{75} = 36.6519141311518$$
$$x_{76} = -76.4454210695477$$
$$x_{77} = 26.1799388481654$$
$$x_{78} = -112.050138233058$$
$$x_{79} = -57.5958654038294$$
$$x_{80} = 68.0678406256452$$
$$x_{81} = -97.3893724165565$$
$$x_{82} = -78.5398161963125$$
$$x_{83} = -65.973445765171$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 + cos(3*x).
$$1 + \cos{\left(3 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 2)

 pi    
(--, 0)
 3     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 9 \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(3 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(3 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 + cos(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(3 x \right)} + 1 = \cos{\left(3 x \right)} + 1$$
- Да
$$\cos{\left(3 x \right)} + 1 = - \cos{\left(3 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График