График функции y = (1+1/x)^x

Вы ввели

              x
       /    1\ 
f(x) = |1 + -| 
       \    x/ 

$$f{\left (x \right )} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 + 1/x)^x.
$$\left(\frac{1}{0} + 1\right)^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = e$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + 1/x)^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- Нет
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = - \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной