График функции y = (1+tan(x))^8

Вы ввели

                   8
f(x) = (1 + tan(x)) 

$$f{\left (x \right )} = \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 84.0347567717$$
$$x_{2} = 99.7601390567$$
$$x_{3} = -10.1976609654$$
$$x_{4} = -63.6275574606$$
$$x_{5} = -85.6195257097$$
$$x_{6} = 77.7685918832$$
$$x_{7} = 18.0591065412$$
$$x_{8} = 33.7854787185$$
$$x_{9} = 46.3320028333$$
$$x_{10} = 68.323863751$$
$$x_{11} = -54.1808288284$$
$$x_{12} = 11.7939122971$$
$$x_{13} = -76.1724238188$$
$$x_{14} = -91.8817067747$$
$$x_{15} = -3.93294803686$$
$$x_{16} = 55.7770385092$$
$$x_{17} = -19.643679427$$
$$x_{18} = -98.1640264268$$
$$x_{19} = 62.0429013379$$
$$x_{20} = -25.9255892634$$
$$x_{21} = -69.8896199504$$
$$x_{22} = 24.3401257706$$
$$x_{23} = 40.0510253417$$
$$x_{24} = -47.9202936736$$
$$x_{25} = -41.6356089655$$
$$x_{26} = 90.3157091436$$
$$x_{27} = 2.34823191189$$
$$x_{28} = -32.1892412743$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 + tan(x))^8.
$$\left(\tan{\left (0 \right )} + 1\right)^{8}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{7} \left(8 \tan^{2}{\left (x \right )} + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi     
(----, 0)
  4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$8 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{6} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 7 \tan^{2}{\left (x \right )} + 7\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + tan(x))^8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8} = \left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}$$
- Нет
$$\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8} = - \left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной