График функции y = (1+x+sin(x))^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                       2
f(x) = (1 + x + sin(x)) 
f(x)=(x+1+sin(x))2f{\left (x \right )} = \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}
График функции
122412261228123012321234123612381240124214500001550000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(x+1+sin(x))2=0\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=0.510973640392x_{1} = -0.510973640392
x2=0.510973112925x_{2} = -0.510973112925
x3=0.510973161042x_{3} = -0.510973161042
x4=0.510973498941x_{4} = -0.510973498941
x5=0.510973942379x_{5} = -0.510973942379
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 + x + sin(x))^2.
(sin(0)+1)2\left(\sin{\left (0 \right )} + 1\right)^{2}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(x+1+sin(x))(2cos(x)+2)=0\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right) \left(2 \cos{\left (x \right )} + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=72.2566310277x_{1} = 72.2566310277
x2=15.7079632966x_{2} = -15.7079632966
x3=65.9734457649x_{3} = -65.9734457649
x4=0.510973429389x_{4} = -0.510973429389
x5=21.9911485049x_{5} = -21.9911485049
x6=28.2743337752x_{6} = 28.2743337752
x7=21.9911485852x_{7} = 21.9911485852
x8=3.14159308855x_{8} = 3.14159308855
x9=21.9911485864x_{9} = -21.9911485864
x10=15.7079634521x_{10} = 15.7079634521
x11=9.424778137x_{11} = -9.424778137
x12=59.6902604578x_{12} = -59.6902604578
x13=28.2743337071x_{13} = -28.2743337071
x14=40.8407046381x_{14} = 40.8407046381
x15=3.14159228508x_{15} = 3.14159228508
x16=3.14159240592x_{16} = -3.14159240592
x17=3.14159296434x_{17} = -3.14159296434
x18=3.1415929189x_{18} = 3.1415929189
x19=65.973445753x_{19} = 65.973445753
x20=59.6902603158x_{20} = 59.6902603158
x21=28.2743338652x_{21} = 28.2743338652
x22=9.42477799329x_{22} = 9.42477799329
x23=34.557519022x_{23} = 34.557519022
x24=9.42477827047x_{24} = 9.42477827047
Зн. экстремумы в точках:
(72.2566310277, 5366.5339902414)

(-15.7079632966, 216.324183491336)

(-65.9734457649, 4221.54864942964)

(-0.510973429389, 6.50924742572157e-25)

(-21.9911485049, 440.628318503121)

(28.2743337752, 856.986624252854)

(21.9911485852, 528.592912803636)

(3.14159308855, 17.1527897082689)

(-21.9911485864, 440.628318503121)

(15.7079634521, 279.156036563132)

(-9.424778137, 70.9768836882655)

(-59.6902604578, 3444.54666795685)

(-28.2743337071, 743.889288723622)

(40.8407046381, 1750.64455277744)

(3.14159228508, 17.1527897082689)

(-3.14159240592, 4.58641909390977)

(-3.14159296434, 4.58641909390977)

(3.1415929189, 17.1527897082689)

(65.973445753, 4485.44243233118)

(59.6902603158, 3683.30770962967)

(28.2743338652, 856.986624252854)

(9.42477799329, 108.675995531343)

(34.557519022, 1264.33717091079)

(9.42477827047, 108.675995531343)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x24=0.510973429389x_{24} = -0.510973429389
x24=3.14159308855x_{24} = 3.14159308855
x24=3.14159228508x_{24} = 3.14159228508
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[3.14159308855, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -0.510973429389]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2((cos(x)+1)2(x+sin(x)+1)sin(x))=02 \left(\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - \left(x + \sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=56.6178966835x_{1} = 56.6178966835
x2=9.42477796077x_{2} = 9.42477796077
x3=238.777861321x_{3} = -238.777861321
x4=75.4518595549x_{4} = -75.4518595549
x5=53.407075111x_{5} = -53.407075111
x6=12.8426083508x_{6} = 12.8426083508
x7=94.2906105058x_{7} = -94.2906105058
x8=3.14159265359x_{8} = 3.14159265359
x9=44.07469716x_{9} = -44.07469716
x10=25.282934917x_{10} = 25.282934917
x11=15.7079632679x_{11} = 15.7079632679
x12=88.0094805325x_{12} = 88.0094805325
x13=69.1735948215x_{13} = -69.1735948215
x14=3.14159265359x_{14} = -3.14159265359
x15=56.6203683515x_{15} = -56.6203683515
x16=40.8407044967x_{16} = 40.8407044967
x17=59.6902604182x_{17} = -59.6902604182
x18=97.3893722613x_{18} = 97.3893722613
x19=78.5398163397x_{19} = 78.5398163397
x20=0.996593157612x_{20} = 0.996593157612
x21=62.8963206865x_{21} = -62.8963206865
x22=88.0105092411x_{22} = -88.0105092411
x23=81.7308855981x_{23} = -81.7308855981
x24=28.2743338823x_{24} = 28.2743338823
x25=25.2948698159x_{25} = -25.2948698159
x26=21.9911485751x_{26} = 21.9911485751
x27=31.54559691x_{27} = -31.54559691
x28=34.5575191895x_{28} = -34.5575191895
x29=47.1238898038x_{29} = -47.1238898038
x30=94.2897138075x_{30} = 94.2897138075
x31=69.171933637x_{31} = 69.171933637
x32=103.672557568x_{32} = -103.672557568
x33=65.9734457254x_{33} = 65.9734457254
x34=72.2566310326x_{34} = 72.2566310326
x35=160.221225333x_{35} = -160.221225333
x36=9.42477796077x_{36} = -9.42477796077
x37=50.3431160193x_{37} = 50.3431160193
x38=31.5377976081x_{38} = 31.5377976081
x39=65.9734457254x_{39} = -65.9734457254
x40=62.8943140566x_{40} = 62.8943140566
x41=37.8070493181x_{41} = -37.8070493181
x42=72.2566310326x_{42} = -72.2566310326
x43=81.7296934931x_{43} = 81.7296934931
x44=47.1238898038x_{44} = 47.1238898038
x45=75.4504618947x_{45} = 75.4504618947
x46=84.8230016469x_{46} = -84.8230016469
x47=6.84634468943x_{47} = -6.84634468943
x48=100.570310945x_{48} = 100.570310945
x49=50.3462342849x_{49} = -50.3462342849
x50=1.40095651026x_{50} = -1.40095651026
x51=100.571099476x_{51} = -100.571099476
x52=19.0650209038x_{52} = -19.0650209038
x53=91.1061869541x_{53} = 91.1061869541
x54=19.0447006499x_{54} = 19.0447006499
x55=59.6902604182x_{55} = 59.6902604182
x56=6.73916270626x_{56} = 6.73916270626
x57=446.115142825x_{57} = -446.115142825
x58=44.0706430892x_{58} = 44.0706430892
x59=21.9911485751x_{59} = -21.9911485751
x60=97.3893722613x_{60} = -97.3893722613
x61=12.8835018653x_{61} = -12.8835018653
x62=34.5575191895x_{62} = 34.5575191895
x63=37.8015701062x_{63} = 37.8015701062
x64=84.8230016469x_{64} = 84.8230016469
x65=53.407075111x_{65} = 53.407075111
x66=78.5398163397x_{66} = -78.5398163397
x67=91.1061869541x_{67} = -91.1061869541
x68=40.8407044967x_{68} = -40.8407044967
x69=15.7079632679x_{69} = -15.7079632679
x70=28.2743338823x_{70} = -28.2743338823

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[97.3893722613, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -446.115142825]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+1+sin(x))2=\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x+1+sin(x))2=\lim_{x \to \infty} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + x + sin(x))^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1x(x+1+sin(x))2)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1x(x+1+sin(x))2)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(x+1+sin(x))2=(xsin(x)+1)2\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = \left(- x - \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}
- Нет
(x+1+sin(x))2=(xsin(x)+1)2\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = - \left(- x - \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной