График функции y = (1+x+sin(x))^2

Вы ввели

                       2
f(x) = (1 + x + sin(x)) 

$$f{\left (x \right )} = \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -0.510973640392$$
$$x_{2} = -0.510973112925$$
$$x_{3} = -0.510973161042$$
$$x_{4} = -0.510973498941$$
$$x_{5} = -0.510973942379$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 + x + sin(x))^2.
$$\left(\sin{\left (0 \right )} + 1\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right) \left(2 \cos{\left (x \right )} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 72.2566310277$$
$$x_{2} = -15.7079632966$$
$$x_{3} = -65.9734457649$$
$$x_{4} = -0.510973429389$$
$$x_{5} = -21.9911485049$$
$$x_{6} = 28.2743337752$$
$$x_{7} = 21.9911485852$$
$$x_{8} = 3.14159308855$$
$$x_{9} = -21.9911485864$$
$$x_{10} = 15.7079634521$$
$$x_{11} = -9.424778137$$
$$x_{12} = -59.6902604578$$
$$x_{13} = -28.2743337071$$
$$x_{14} = 40.8407046381$$
$$x_{15} = 3.14159228508$$
$$x_{16} = -3.14159240592$$
$$x_{17} = -3.14159296434$$
$$x_{18} = 3.1415929189$$
$$x_{19} = 65.973445753$$
$$x_{20} = 59.6902603158$$
$$x_{21} = 28.2743338652$$
$$x_{22} = 9.42477799329$$
$$x_{23} = 34.557519022$$
$$x_{24} = 9.42477827047$$
Зн. экстремумы в точках:

(72.2566310277, 5366.5339902414)

(-15.7079632966, 216.324183491336)

(-65.9734457649, 4221.54864942964)

(-0.510973429389, 6.50924742572157e-25)

(-21.9911485049, 440.628318503121)

(28.2743337752, 856.986624252854)

(21.9911485852, 528.592912803636)

(3.14159308855, 17.1527897082689)

(-21.9911485864, 440.628318503121)

(15.7079634521, 279.156036563132)

(-9.424778137, 70.9768836882655)

(-59.6902604578, 3444.54666795685)

(-28.2743337071, 743.889288723622)

(40.8407046381, 1750.64455277744)

(3.14159228508, 17.1527897082689)

(-3.14159240592, 4.58641909390977)

(-3.14159296434, 4.58641909390977)

(3.1415929189, 17.1527897082689)

(65.973445753, 4485.44243233118)

(59.6902603158, 3683.30770962967)

(28.2743338652, 856.986624252854)

(9.42477799329, 108.675995531343)

(34.557519022, 1264.33717091079)

(9.42477827047, 108.675995531343)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{24} = -0.510973429389$$
$$x_{24} = 3.14159308855$$
$$x_{24} = 3.14159228508$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3.14159308855, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -0.510973429389]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - \left(x + \sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 56.6178966835$$
$$x_{2} = 9.42477796077$$
$$x_{3} = -238.777861321$$
$$x_{4} = -75.4518595549$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 12.8426083508$$
$$x_{7} = -94.2906105058$$
$$x_{8} = 3.14159265359$$
$$x_{9} = -44.07469716$$
$$x_{10} = 25.282934917$$
$$x_{11} = 15.7079632679$$
$$x_{12} = 88.0094805325$$
$$x_{13} = -69.1735948215$$
$$x_{14} = -3.14159265359$$
$$x_{15} = -56.6203683515$$
$$x_{16} = 40.8407044967$$
$$x_{17} = -59.6902604182$$
$$x_{18} = 97.3893722613$$
$$x_{19} = 78.5398163397$$
$$x_{20} = 0.996593157612$$
$$x_{21} = -62.8963206865$$
$$x_{22} = -88.0105092411$$
$$x_{23} = -81.7308855981$$
$$x_{24} = 28.2743338823$$
$$x_{25} = -25.2948698159$$
$$x_{26} = 21.9911485751$$
$$x_{27} = -31.54559691$$
$$x_{28} = -34.5575191895$$
$$x_{29} = -47.1238898038$$
$$x_{30} = 94.2897138075$$
$$x_{31} = 69.171933637$$
$$x_{32} = -103.672557568$$
$$x_{33} = 65.9734457254$$
$$x_{34} = 72.2566310326$$
$$x_{35} = -160.221225333$$
$$x_{36} = -9.42477796077$$
$$x_{37} = 50.3431160193$$
$$x_{38} = 31.5377976081$$
$$x_{39} = -65.9734457254$$
$$x_{40} = 62.8943140566$$
$$x_{41} = -37.8070493181$$
$$x_{42} = -72.2566310326$$
$$x_{43} = 81.7296934931$$
$$x_{44} = 47.1238898038$$
$$x_{45} = 75.4504618947$$
$$x_{46} = -84.8230016469$$
$$x_{47} = -6.84634468943$$
$$x_{48} = 100.570310945$$
$$x_{49} = -50.3462342849$$
$$x_{50} = -1.40095651026$$
$$x_{51} = -100.571099476$$
$$x_{52} = -19.0650209038$$
$$x_{53} = 91.1061869541$$
$$x_{54} = 19.0447006499$$
$$x_{55} = 59.6902604182$$
$$x_{56} = 6.73916270626$$
$$x_{57} = -446.115142825$$
$$x_{58} = 44.0706430892$$
$$x_{59} = -21.9911485751$$
$$x_{60} = -97.3893722613$$
$$x_{61} = -12.8835018653$$
$$x_{62} = 34.5575191895$$
$$x_{63} = 37.8015701062$$
$$x_{64} = 84.8230016469$$
$$x_{65} = 53.407075111$$
$$x_{66} = -78.5398163397$$
$$x_{67} = -91.1061869541$$
$$x_{68} = -40.8407044967$$
$$x_{69} = -15.7079632679$$
$$x_{70} = -28.2743338823$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[97.3893722613, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -446.115142825]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + x + sin(x))^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = \left(- x - \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(x + 1 + \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = - \left(- x - \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной