График функции y = (1+x)^(1/x)

Вы ввели

       x _______
f(x) = \/ 1 + x 

$$f{\left (x \right )} = \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 + x)^(1/x).
$$1^{\frac{1}{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x + 1 \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} \log{\left (x + 1 \right )}\right)^{2} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2}{x^{2}} \log{\left (x + 1 \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + x)^(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \left(- x + 1\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = - \left(- x + 1\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной